Polígonos regulares são polígonos convexos que possuem todos os lados e todos os ângulos (internos e externos) congruentes.
Polígonos regulares são os polígonos convexos em que todos os lados e todos os ângulos são congruentes, ou seja, têm a mesma medida. O polígono regular de 3 lados é o triângulo equilátero e o de 4 lados é o quadrado. Os demais polígonos regulares têm apenas o acréscimo do termo “regular” na nomenclatura: pentágono regular, hexágono regular etc.
Leia também: O que são polígonos semelhantes?
Polígono regular é um polígono convexo com todos os lados e ângulos congruentes.
Todo polígono regular é inscritível e circunscritível.
O perímetro P de um polígono regular com n lados de medida l é dado por:
\(P=n ⋅l\)
A área A de um polígono regular com n lados de medida l e apótema h é dada por:
\(A=n⋅\frac{l⋅h}2\)
O ângulo interno \(a_i\) de um polígono regular com n lados é dado por:
\(a_i=\frac{(n-2)⋅180°}n\)
O ângulo externo ae de um polígono regular com n lados é dado por:
\(a_e=\frac{360°}n\)
Um polígono convexo que possui todos os lados e ângulos congruentes é chamado de polígono regular. Na imagem abaixo, temos, respectivamente, o triângulo regular (conhecido como triângulo equilátero), o quadrilátero regular (quadrado) e o pentágono regular.
Propriedade 1: Todo polígono regular é inscritível.
Isso significa que, dado um polígono regular, existe uma circunferência que contém todos os vértices do polígono. O raio dessa circunferência é a distância do centro do polígono a um dos vértices.
Propriedade 2: Todo polígono regular é circunscritível.
Isso significa que, dado um polígono regular, existe uma circunferência que tangencia todos os lados do polígono. O raio dessa circunferência é a distância do centro do polígono a um dos lados.
Veja também: Polígonos inscritos e circunscritos — elementos e propriedades
O perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados. No caso de um polígono regular, como todos os lados são congruentes, podemos construir uma expressão para o cálculo do perímetro.
Em um polígono com n lados de medida l, o perímetro P é dado por:
\(P=n⋅l\)
Exemplo:
Qual o perímetro de um triângulo equilátero de lado 2 cm?
\(P=2\ cm+2\ cm+2\ cm=6\ cm\)
Note que \(P=3⋅2\ cm=6\ cm\).
O apótema de um polígono é o segmento perpendicular a um dos lados com extremidade no centro. No caso dos polígonos regulares, o apótema é o raio da circunferência inscrita.
Todo polígono regular pode ser dividido em triângulos isósceles congruentes por segmentos que unem o centro do polígono aos vértices. Consequentemente, a área de um polígono regular é igual à soma das áreas dos triângulos.
Vejamos um exemplo com o pentágono regular. Seja l o lado do pentágono e h o apótema.
Note que o pentágono regular pode ser dividido em 5 triângulos congruentes de base l e altura h. Portanto, a área desse pentágono é:
\(A=5⋅\frac{l⋅h}2\)
Perceba que podemos generalizar essa ideia. Considere um polígono regular com n lados, em que cada um mede l. Assim, podemos dividir esse polígono em n triângulos congruentes de base l e altura h. Dessa forma, a área é:
\(A_{polígono\ regular} =n⋅\frac{l⋅h}2\)
Observação: Como n⋅l é o perímetro P do polígono, também podemos escrever:
\(A_{polígono\ regular} =n⋅\frac{l⋅h}2=\frac{n⋅l⋅h}2\)
\(A_{polígono\ regular} =\frac{P⋅h}2\)
Exemplo:
Qual a área aproximada de um octógono regular cujos lados medem 0,5 cm e o apótema mede aproximadamente 0,6 cm?
Como n = 8, l = 0,5 cm e h ≈ 0,6 cm, temos que:
\(A=n⋅\frac{l⋅h}2\)
\(A≈8⋅\frac{0,5⋅0,6}2\)
\(A≈1,2\ cm^2\)
Todos os ângulos internos de um polígono regular são congruentes, ou seja, têm a mesma medida. Portanto, se \(a_i\) é a medida do ângulo interno de um polígono de n lados, então a soma S dos ângulos internos é \(S=n⋅a_i\) e, assim:
\(a_i=\frac{S}n\)
Contudo, todo polígono regular é convexo e há uma fórmula para a soma S dos ângulos internos de um polígono convexo. Vejamos como melhorar essa expressão.
A soma S dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é dada por:
\(\mathbf{S=(n-2)⋅180°}\)
Portanto, substituindo essa fórmula na expressão do tópico anterior, temos que a medida do ângulo interno de um polígono regular é dada por:
\(a_i=\frac{(n-2)⋅180°}n\)
Exemplo:
Determine a medida de cada ângulo interno de um hexágono regular e a soma dos ângulos internos.
Como n = 6, temos que:
\(S=(6-2)⋅180°= 720°\)
\(a_i=\frac{720°}6=120°\)
Todos os ângulos externos de um polígono regular são congruentes. Como os polígonos regulares são convexos e a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é 360°, então a medida de cada ângulo externo \(a_e\) de um polígono regular é dada por:
\(a_e=\frac{360°}n\)
Saiba mais: Como encontrar a diagonal dos polígonos
Um polígono é chamado de irregular (ou não regular) se não possui todos os lados congruentes ou todos os ângulos congruentes. Exemplos de polígonos irregulares são o retângulo (pois os lados não são congruentes) e o losango (pois os ângulos não são congruentes).
Questão 1
Qual a medida de cada ângulo interno de um eneágono regular?
a) 60°
b) 90°
c) 108°
d) 120°
e) 140°
Resolução: letra E
Eneágono regular é o polígono regular com 9 lados. Assim:
\(a_i=\frac{(9-2)⋅180°}9=140°\)
Questão 2
Se o perímetro de um heptágono regular é igual a 35 cm, o lado desse polígono mede
a) 5 cm.
b) 7 cm.
c) 10 cm.
d) 11 cm.
e) 13 cm.
Resolução: letra A
Heptágono regular é o polígono regular com 7 lados, portanto:
\(P=n⋅l\)
\(35=7⋅l\)
\(l=5\ cm\)