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Matemática

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Polígonos regulares

Polígonos regulares são polígonos convexos que possuem todos os lados e todos os ângulos (internos e externos) congruentes.

Tipos de polígonos regulares. Polígonos com lados e ângulos congruentes são polígonos regulares.

Polígonos regulares são os polígonos convexos em que todos os lados e todos os ângulos são congruentes, ou seja, têm a mesma medida. O polígono regular de 3 lados é o triângulo equilátero e o de 4 lados é o quadrado. Os demais polígonos regulares têm apenas o acréscimo do termo “regular” na nomenclatura: pentágono regular, hexágono regular etc.

Leia também: O que são polígonos semelhantes?

Resumo sobre polígonos regulares

  • Polígono regular é um polígono convexo com todos os lados e ângulos congruentes.

  • Todo polígono regular é inscritível e circunscritível.

  • O perímetro P de um polígono regular com n lados de medida l é dado por:

P=nl

  • A área A de um polígono regular com n lados de medida l e apótema h é dada por:

A=nlh2

  • O ângulo interno ai de um polígono regular com n lados é dado por:

ai=(n2)180°n

  • O ângulo externo ae de um polígono regular com n lados é dado por:

ae=360°n

Videoaula sobre polígonos regulares

O que são polígonos regulares?

Um polígono convexo que possui todos os lados e ângulos congruentes é chamado de polígono regular. Na imagem abaixo, temos, respectivamente, o triângulo regular (conhecido como triângulo equilátero), o quadrilátero regular (quadrado) e o pentágono regular.

Quais são as propriedades dos polígonos regulares?

  • Propriedade 1: Todo polígono regular é inscritível.

Isso significa que, dado um polígono regular, existe uma circunferência que contém todos os vértices do polígono. O raio dessa circunferência é a distância do centro do polígono a um dos vértices.

Pentágono regular inscrito em uma circunferência.
  • Propriedade 2: Todo polígono regular é circunscritível.

Isso significa que, dado um polígono regular, existe uma circunferência que tangencia todos os lados do polígono. O raio dessa circunferência é a distância do centro do polígono a um dos lados.

Pentágono regular circunscrito a uma circunferência.

Veja também: Polígonos inscritos e circunscritos — elementos e propriedades

Qual o perímetro dos polígonos regulares?

O perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados. No caso de um polígono regular, como todos os lados são congruentes, podemos construir uma expressão para o cálculo do perímetro.

Em um polígono com n lados de medida l, o perímetro P é dado por:

P=nl

Exemplo:

Qual o perímetro de um triângulo equilátero de lado 2 cm?

P=2 cm+2 cm+2 cm=6 cm

Note que P=32 cm=6 cm.

Apótema de um polígono regular

O apótema de um polígono é o segmento perpendicular a um dos lados com extremidade no centro. No caso dos polígonos regulares, o apótema é o raio da circunferência inscrita.

Apótema do pentágono regular.

Qual a área dos polígonos regulares?

Todo polígono regular pode ser dividido em triângulos isósceles congruentes por segmentos que unem o centro do polígono aos vértices. Consequentemente, a área de um polígono regular é igual à soma das áreas dos triângulos.

Vejamos um exemplo com o pentágono regular. Seja l o lado do pentágono e h o apótema.

Note que o pentágono regular pode ser dividido em 5 triângulos congruentes de base l e altura h. Portanto, a área desse pentágono é:

A=5lh2

Perceba que podemos generalizar essa ideia. Considere um polígono regular com n lados, em que cada um mede l. Assim, podemos dividir esse polígono em n triângulos congruentes de base l e altura h. Dessa forma, a área é:

Apolígono regular=nlh2

Observação: Como nl é o perímetro P do polígono, também podemos escrever:

Apolígono regular=nlh2=nlh2

Apolígono regular=Ph2

Exemplo:

Qual a área aproximada de um octógono regular cujos lados medem 0,5 cm e o apótema mede aproximadamente 0,6 cm?

Como n = 8, l = 0,5 cm e h ≈ 0,6 cm, temos que:

A=nlh2

A80,50,62

A1,2 cm2

Ângulos internos dos polígonos regulares

Todos os ângulos internos de um polígono regular são congruentes, ou seja, têm a mesma medida. Portanto, se ai é a medida do ângulo interno de um polígono de n lados, então a soma S dos ângulos internos é S=nai e, assim:

ai=Sn

Contudo, todo polígono regular é convexo e há uma fórmula para a soma S dos ângulos internos de um polígono convexo. Vejamos como melhorar essa expressão.

→ Soma dos ângulos internos de um polígono regular

A soma S dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é dada por:

S=(n2)180°

Portanto, substituindo essa fórmula na expressão do tópico anterior, temos que a medida do ângulo interno de um polígono regular é dada por:

ai=(n2)180°n

Exemplo:

Determine a medida de cada ângulo interno de um hexágono regular e a soma dos ângulos internos.

Como n = 6, temos que:

S=(62)180°=720°

ai=720°6=120°

Ângulos externos dos polígonos regulares

Todos os ângulos externos de um polígono regular são congruentes. Como os polígonos regulares são convexos e a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é 360°, então a medida de cada ângulo externo ae de um polígono regular é dada por:

ae=360°n

Saiba mais: Como encontrar a diagonal dos polígonos

Diferença entre polígono regular e polígono irregular

Um polígono é chamado de irregular (ou não regular) se não possui todos os lados congruentes ou todos os ângulos congruentes. Exemplos de polígonos irregulares são o retângulo (pois os lados não são congruentes) e o losango (pois os ângulos não são congruentes).

Polígonos irregulares com, respectivamente, 5, 6, 7, 8 e 9 lados.

Exercícios resolvidos sobre polígonos regulares

Questão 1

Qual a medida de cada ângulo interno de um eneágono regular?

a) 60°

b) 90°

c) 108°

d) 120°

e) 140°

Resolução: letra E

Eneágono regular é o polígono regular com 9 lados. Assim:

ai=(92)180°9=140°

Questão 2

Se o perímetro de um heptágono regular é igual a 35 cm, o lado desse polígono mede

a) 5 cm.

b) 7 cm.

c) 10 cm.

d) 11 cm.

e) 13 cm.

Resolução: letra A

Heptágono regular é o polígono regular com 7 lados, portanto:

P=nl

35=7l

l=5 cm

Por Maria Luiza Alves Rizzo

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