Segmentos proporcionais

Quatro segmentos são proporcionais quando a razão entre as medidas dos dois primeiros é igual à razão entre as medidas dos dois últimos. Assim sendo, é possível encontrar a medida de um desses segmentos sabendo as medidas dos outros três. Esse é um conhecimento que pode ser usado para introduzir ou para exercitar o conceito de regra de três.

Para isso, vale lembrar antes o que são razões e quais as características de uma razão entre segmentos de reta.

Razão

Uma razão é a divisão entre dois números. Eles podem representar grandezas e, muitas vezes, os resultados obtidos por uma razão geram uma grandeza totalmente nova, como é o caso da distância dividida pelo tempo, cujo resultado é igual à velocidade média.

Uma razão pode ser expressa por meio de uma fração irredutível ou por meio de um número decimal, obtido pela divisão do numerador pelo denominador dessa razão.

As razões entre segmentos de reta são o modo como ficou conhecida a divisão entre os comprimentos desses segmentos. É necessário que esses comprimentos estejam na mesma unidade de medida para que a razão entre eles tenha resultados analisáveis.

Além disso, a razão entre segmentos de reta sempre será um número real positivo, uma vez que os comprimentos de cada segmento só podem ser expressos por meio de números reais positivos.

Segmentos proporcionais

Uma proporção é a igualdade entre duas razões. Quando essas razões, além de iguais, representam os comprimentos de segmentos de reta, dizemos que os segmentos são proporcionais. Por exemplo: os segmentos de reta da imagem a seguir são proporcionais.

Isso acontece porque suas medidas são: AB = 2 cm, CD = 4 cm, EF = 3 cm e GH = 6 cm. Na ordem em que os segmentos foram apresentados, podemos construir a seguinte proporção:

AB = EF
CD    GH

Substituindo as medidas dos segmentos, teremos:

2 = 3
4    6

E os segmentos são proporcionais porque as razões entre eles, na ordem em que foram apresentados, são sempre iguais a 0,5 ou 1/2.

Descobrindo a medida de um segmento

Quando sabemos que quatro segmentos são proporcionais, é possível descobrir a medida de um deles conhecendo as medidas dos outros três segmentos. Para isso, usaremos a propriedade fundamental das proporções, a qual garante que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

1º Exemplo – Os segmentos AB, CD, EF e GH são proporcionais. Sabendo que as medidas dos segmentos AB, CD e EF são 10 cm, 15 cm e 20 cm respectivamente, calcule a medida do segmento GH.

Solução: Não é necessário desenhar os segmentos para resolver esse problema. Na ordem em que os segmentos foram apresentados, a proporção é a seguinte:

AB = EF
CD    GH

Substituindo os comprimentos dos três segmentos que foram dados, teremos:

10  = 20
 15    GH

Usando a propriedade fundamental das proporções, teremos:

10GH = 20·15

10GH = 300
GH = 300
         10

GH = 30 centímetros.

2º Exemplo – Os retângulos a seguir são semelhantes. Qual a medida de x?

Solução: Se dois retângulos são semelhantes, então, seus lados correspondentes são proporcionais. Assim, podemos construir a proporção:

20 = 40
40     x 

20x = 40·40

20x = 1600

x = 1600
     20

x = 80 cm.