Perímetro do quadrado

O perímetro do quadrado é a medida total do contorno dessa figura. Ele representa a soma dos lados do quadrado, que, por serem todos iguais, é equivalente a quatro vezes a medida de um dos lados. A partir da medida do diâmetro ou da área do quadrado é possível encontrar a medida do seu lado e, assim, a medida de seu perímetro.

Caso um quadrado esteja inscrito em uma circunferência, é possível encontrar a medida do lado do quadrado através da medida do raio da circunferência.

Leia também: Como calcular a área de polígonos

Resumo sobre o perímetro do quadrado

• O perímetro do quadrado é a soma da medida de seus quatro lados.
• Um quadrado de lado a  possui um perímetro dado por \(P=4a\).
• A diagonal de um quadrado de lado a  é dado por \(d=a\sqrt2\).
• A área de um quadrado de lado a  é calculada por \(A=a^2\).
• A medida do lado a de um quadrado inscrito em uma circunferência de raio R é encontrada pela relação \(R=\frac{a\sqrt2}{2}\).

Como se calcula o perímetro do quadrado?

O perímetro do quadrado é a medida do contorno dessa figura, ou seja, é a soma da medida de seus lados. Assim, para calcular o perímetro do quadrado é necessário saber a medida de um de seus lados.

Imagine um quadrado de lado medindo a. Como seus lados possuem a mesma medida, o perímetro desse quadrado é igual a:

\(\mathbf{Perímetro \ do\ quadrado}=a+a+a+a=4\cdot a\)

Exemplo:

Qual o perímetro de um quadrado cujo lado mede 5 cm?

\(Perímetro\ do\ quadrado=5+5+5+5=4\cdot 5=20 cm\)

Como se calcula com lados desconhecidos

Há situações em que a medida do lado de um quadrado não é informada. Nesses casos, pode-se utilizar outras informações sobre o quadrado para determinar a medida de seu lado e, por fim, calcular seu perímetro.

As duas informações mais comuns relacionadas com o lado de um quadrado são a área e a diagonal dessa figura. Um quadrado de lado de medida a possui a seguinte área e medida da diagonal:

Exemplo:

Qual o perímetro de um quadrado cuja diagonal mede \(4\sqrt2\ cm\)?

A diagonal d  de um quadrado de lado a  possui a seguinte medida de diagonal:

\(Diagonal\ do\ quadrado:d=a\sqrt2\)

Portanto, um quadrado cuja diagonal mede \(4\sqrt2\ cm\) possui a seguinte medida de lado:

\(a\sqrt2=4\sqrt2\ cm\)

\(a=4\ cm\)

Assim, o perímetro desse quadrado é dado por:

\(Perímetro\ do\ quadrado=4\cdot a=4\cdot 4 cm=16 cm\)

Uma outra maneira de encontrar a medida dos lados de um quadrado e posteriormente seu perímetro é através da medida da área dessa figura.

• Área do quadrado

A área do quadrado é referente à região ocupada por essa figura. Para encontrar essa medida, é preciso elevar ao quadrado a medida do lado do quadrado.

Assim, um quadrado de lado de medida a possui a seguinte área:

\(Área \ do\ quadrado=(lado)^2=a^2\)

Exemplo:

Qual o perímetro de um quadrado cuja área mede 4 cm²?

Como visto, a área do quadrado é igual ao quadrado da medida de seu lado. Assim, se um quadrado possui lado de medida a, então:

\(a^2=4\ cm^2\ \) 

\(a=\pm\sqrt{4\ cm^2}\)

\(a=\pm2\ cm\)

Já que a medida do lado do quadrado não pode ser negativa, esse quadrado possui lado de medida a=2 cm. Portanto, o perímetro desse quadrado é dado por:

\(Perímetro\ do\ quadrado=4\cdot a=4\cdot 2 cm=8 cm\)

Como se calcula o perímetro do quadrado inscrito em uma circunferência?

Pode haver situações em que um quadrado está inscrito em uma circunferência. Nesse caso, com a informação sobre o raio da circunferência, é possível descobrir a medida do lado do quadrado e, assim, calcular seu perímetro.

Quando um quadrado está inscrito em uma circunferência, o centro das duas imagens é o mesmo. Assim, o raio da circunferência será metade da medida da diagonal do quadrado.

\(R=\frac{d}{2}=\frac{a\sqrt2}{2}\)

Portanto, o raio R da circunferência e o lado a de um quadrado inscrito a ela cumprem a relação:

\(R=\frac{a\sqrt2}{2}\)

Exemplo:

Qual o perímetro de um quadrado que está inscrito em uma circunferência cujo raio mede \(3\sqrt2\ cm\)?

Primeiramente, através do raio da circunferência encontra-se o lado do quadrado:

\(R=\frac{a\sqrt2}{2}\)

\(3\sqrt2=\frac{a\sqrt2}{2}\)

\(2\cdot3\sqrt2=a\sqrt2\)

\(\frac{6\sqrt2}{\sqrt2}=a\)

\(a=6\ cm\)

Assim, o perímetro desse quadrado de lado 6 cm  é igual a

\(Perímetro\ do\ quadrado=4\cdot a=4\cdot 6 cm=24 cm\)

Leia também: Critérios de congruência de figuras geométricas

Exercícios resolvidos sobre o perímetro do quadrado

Questão 1

Um fazendeiro vai cercar um terreno de formato quadrado. Ele sabe que precisa de 9 m de arame para cercar somente um lado do terreno. Quantos metros de arame ele precisa para cercar o terreno todo, sendo essa medida o perímetro do terreno?

a) 9 m

b) 18 m

c) 27 m

d) 36 m

Resolução

Sabendo que um lado do terreno mede o equivalente a 9 m, para cercar o perímetro do terreno quadrado todo são necessários:

\(Perímetro\ do\ terreno\ quadrado=4\cdot9 m=36 m\)

Assim, são necessários 36 m de arame.

A alternativa correta é a alternativa d).

Questão 2

Uma professora pediu que seus alunos desenhassem um quadrado que tivesse 100 cm² de área. Qual deve ser o perímetro do quadrado desenhado pelos alunos?

a) 10 cm

b) 25 cm

c) 40 cm

d) 100 cm

Resolução

Sabendo a área do quadrado, é possível descobrir a medida do seu lado a  através da relação:

\(a^2=100\ cm^2\ \) 

\(a=\pm\sqrt{100\ cm^2}\)

\(a=\pm10\ cm\)

Como a medida do lado do quadrado deve ser positiva, então o lado do quadrado deve medir 10 cm .

Assim, o perímetro desse quadrado é igual a

\(Perímetro \ do \ terreno\ quadrado=4\cdot10 cm=40 cm\)

A alternativa correta é a alternativa c).

Fontes:

REZENDE, E.Q.F.; QUEIROZ, M. L. B. de. Geometria Euclidiana Plana: e construções geométricas. 2ª ed. Campinas: Unicamp, 2008.

SAMPAIO, Fausto Arnaud. Trilhas da matemática, 7º ano: ensino fundamental, anos finais. 1. ed. São Paulo: Saraiva, 2018.