Volume do prisma
O volume de um prisma é calculado pelo produto entre a área da base (cujo formato depende do tipo de prisma) e a altura (a distância entre as bases).
Volume do prisma é o espaço ocupado por esse sólido geométrico. Prisma é um poliedro com duas bases congruentes e faces laterais retangulares. O volume de um prisma é o resultado da multiplicação entre a área da base e a altura.
Leia também: Fórmulas de volumes de sólidos geométricos
Resumo sobre volume do prisma
- O espaço ocupado por um prisma é o seu volume.
- Um prisma é formado por duas bases congruentes e por faces laterais retangulares.
- A área de uma das bases do prisma é representada por Ab e a altura, por h.
- A fórmula do volume de um prisma é:
(V=A_bcdot h)
- O formato da base (triângulo, quadrado, retângulo, pentágono etc.) determina o tipo de prisma.
Videoaula sobre o volume do prisma
Fórmula do volume do prisma
Considere um prisma com área da base Ab e altura (distância entre as bases) h. Assim, a fórmula do volume do prisma é:
(V_{mathrm{prisma}}=A_bcdot h)
Portanto, o volume de um prisma é o resultado da multiplicação entre a área de uma das bases e a altura.
Como calcular o volume do prisma?
Para calcular o volume de um prisma, precisamos descobrir duas informações: a área da base e a altura. O cálculo da área da base dependerá de qual polígono compõe a base do prisma, e a altura do prisma é a distância entre as bases.
Vejamos alguns exemplos de como calcular o volume do prisma para diferentes tipos de prismas.
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Volume do prisma triangular
Um prisma em que as bases são triângulos, como na imagem abaixo, é chamado de triangular.
Exemplo: Considere um prisma em que as bases são triângulos equiláteros. Se a aresta da base mede 2 cm e a altura 5 cm, qual o volume desse prisma?
Nesse caso, a área da base é a área de um triângulo equilátero de lado 2 cm. Assim:
(A_b=rac{l^2sqrt3}{4})
(A_b=rac{2^2sqrt3}{4})
(A_b=sqrt3)
Como a altura h do prisma é 5 cm, segue que o volume desse sólido é:
(V=A_bcdot h)
(V=5sqrt3 cm³)
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Volume do prisma de base quadrada
Como o nome sugere, as bases nesse tipo de prisma são quadrados.
Exemplo: Qual o volume de um prisma de 7 cm de altura em que as bases são quadrados com 3 cm de lado?
A área da base desse prisma é a área de um quadrado de lado 3 cm. Assim:
(A_b=l^2)
(A_b=3^2=9 cm²)
Logo, como h=7 cm, temos que:
(V=A_bcdot h)
(V=9cdot7=63 cm³)
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Volume do prisma reto de base retangular (paralelepípedo ou bloco retangular)
Um paralelepípedo reto é um prisma com bases retangulares, como indicado na imagem.
Exemplo: Qual o volume de prisma com 6 cm de altura em que as bases são retângulos de dimensão 5 cm x 3 cm?
A área da base desse prisma é a área de um retângulo com 5 cm de comprimento e 3 cm de largura. Portanto:
(A_b=mathrm{comprimento x largura})
(A_b=5cdot3=15 cm²)
Assim, como a altura h do prisma é 6 cm, temos que:
(V=A_bcdot h)
(V=15cdot6=90 cm³)
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Volume do prisma pentagonal
Um prisma em que a base é um pentágono (polígono com 5 lados) é chamado de prisma pentagonal.
Exemplo: Considere um prisma com 10 cm de altura em que as bases são pentágonos regulares com 5 cm de lado e 3,44 cm de apótema. Qual o volume desse prisma?
Nesse exemplo, a área da base é a área de um pentágono regular com 5 cm de lado e 3,44 cm de apótema. Assim:
(A_b=5cdotleft(rac{lcdot a}{2} ight))
(A_b=5cdotleft(rac{5cdot3,44}{2} ight))
(A_b=43 cm²)
Portanto, como a altura h é igual a 10 cm, temos que:
(V=A_bcdot h)
(V=43cdot10=430 cm³)
Princípio de Cavalieri
Sejam S1 e S2 dois sólidos geométricos de mesma altura h com bases congruentes sobre um plano β. Considere um plano α arbitrário, paralelo a β , que é secante aos dois sólidos, conforme a imagem.
A região α∩S1 é a interseção do sólido S1 com o plano α e a região α∩S2 é a interseção do sólido S2 com o plano α .
Se a área de α∩S1 é igual à área de α∩S2, então o volume do sólido S1 é igual ao volume do sólido S2. Esse é o princípio de Cavalieri, um resultado matemático utilizado para a construção de fórmulas para volumes de sólidos geométricos.
Leia também: Como calcular o volume da pirâmide
Exercícios sobre volume do prisma
Questão 1
(Enem) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.
Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a
a) 5 cm.
b) 6 cm.
c) 12 cm.
d) 24 cm.
e) 25 cm.
Resolução
O volume das barras de chocolates no formato de paralelepípedos é igual ao produto entre a área da base retangular (que é o produto da largura e do comprimento) e a espessura:
(V_{paralelepípedo}=3⋅18⋅4=216)
Seja a a medida da aresta das barras de chocolate em formato de cubo. Como essas barras têm o mesmo volume que as barras em formato de paralelepípedo e o volume de um cubo é a3 , segue que:
(V_{mathrm{cubo}}=216)
(a^3=216)
(a=sqrt[3]{216}=6)
Alternativa B
Questão 2
Uma caixa tem o formato de um paralelepípedo reto com dimensões 18 cm x 14 cm x 10 cm. Qual o volume dessa caixa em centímetros cúbicos?
a) 252
b) 262
c) 420
d) 1252
e) 2520
Resolução
A base dessa caixa é um retângulo com 18 centímetros de comprimento e 14 centímetros de largura. Assim:
(A_b=18cdot14=252 cm²)
Como a altura da caixa mede 10 cm, segue que:
(V=252cdot10=2520 cm³)
Alternativa E
Fontes:
DOLCE, O; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar, Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica. 7ª ed. Santos: Atual, 2013.
TOSE, M. de T. Volume: Princípio de Cavalieri no Ensino Médio. Dissertação (Mestrado) – Programa de Pós-Graduação em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT), Universidade Estadual Paulista, 2017. Disponível em http://hdl.handle.net/11449/149744 .