Volume de sólidos geométricos

O volume de um sólido geométrico é a medida do espaço que esse sólido ocupa. Como os sólidos geométricos possuem diferentes formatos, precisamos identificar o tipo de sólido para calcular seu volume.

Leia também: Planificação de sólidos geométricos

Resumo sobre o volume de sólidos geométricos

• O espaço ocupado por um sólido geométrico é seu volume.
• A unidade de medida de volume do Sistema Internacional de Unidades (SI) é o metro cúbico (m³), mas o litro (L) é muito utilizado. 1 m³ equivale a 1000 litros.
• Os volumes do cubo, paralelepípedo, prisma e cilindro são dados pelo produto entre a área da base e a altura.
• Os volumes da pirâmide e do cone correspondem a um terço do produto entre a área da base e a altura.
• O volume da esfera é quatro terços do produto entre π e r³ , em que r é o raio da esfera.

Quais são as unidades de medida de volume?

O Sistema Internacional de Unidades estabelece o metro cúbico (m³) como unidade de medida padrão de volume. Outras unidades importantes de volume são o quilômetro cúbico (km³), o centímetro cúbico (cm³) e o milímetro cúbico (mm³).

Ainda que menos comuns, também são unidades de medida de volume o hectômetro cúbico (hm³), decâmetro cúbico (dam³) e o decímetro cúbico (dm³).

Em alguns casos, é necessário converter uma unidade de medida em outra. Para isso, precisamos conhecer como as unidades se relacionam. As relações entre as principais unidades de medida de volume são:

• 1 km³ = 1.10⁹ m³  (1 quilômetro cúbico vale 1 bilhão de metros cúbicos.)
• 1 m³ = 1.10⁶ cm³  (1 metro cúbico vale 1 milhão de centímetros cúbicos.)
• 1 cm³ = 1.10³ mm³  (1 centímetro cúbico vale mil milímetros cúbicos.)

Como se calcula o volume de sólidos geométricos?

Com exceção da esfera, cujo volume depende exclusivamente do raio, o cálculo do volume de um sólido geométrico está associado a dois elementos: a forma geométrica plana que compõe a base do sólido e a altura do sólido. Veja a seguir como é feito o cálculo do volume dos principais sólidos geométricos.

→ Volume do cubo

O volume de um cubo é obtido pelo produto entre a área da base e a altura. Como as faces de um cubo são formadas por quadrados congruentes, então todas as arestas têm o mesmo tamanho. Se a é a medida da aresta do cubo, então:

 (V_{cubo}=a^3)

• Exemplo:

Qual o volume de um cubo com aresta a = 2 cm ?

Resolução:

O volume desse cubo é

(V_{cubo}=2^3= 8 cm³)

→ Volume do paralelepípedo

O volume de um paralelepípedo é dado pelo produto entre a área da base e a altura. Se o paralelepípedo é reto-retângulo (como uma caixa de sapatos), então o volume é obtido pelo produto entre as três dimensões (comprimento, largura e altura). Se a  é a medida do comprimento do paralelepípedo reto-retângulo, b  é a medida da altura e c  é a medida da largura, então:

(V_{paralelepípedo}=a.b.c)

• Exemplo:

Qual o volume de um paralelepípedo com 3 cm de comprimento, 7 cm de altura e 2 cm de largura?

Resolução:

O volume desse paralelepípedo é

(V_{paralelepípedo}=3.7.2 = 42 cm³)

→ Volume do prisma

O volume de um prisma é obtido pelo produto entre a área da base e a altura. Lembre-se que a base de um prisma é uma forma geométrica plana. Se Ab  é a área da base do prisma e h  é a altura do prisma, então:

(V_{prisma}=A_b.h)

• Exemplo:

Determine o volume de um prisma triangular regular sabendo que sua altura é 8 cm e que o lado do triângulo equilátero que forma a base é 1 cm.

Resolução:

Primeiro precisamos descobrir a área da base triangular. Lembre-se que a área de um triângulo equilátero é (rac{lsqrt3}{2}) . Assim,

(A_b=rac{1 . sqrt3}{2} = rac{sqrt3}{2} cm²)

Portanto, o volume do prisma é:

(V_{prisma}=rac{sqrt3}{2}.8=4sqrt3 cm³)

→ Volume da pirâmide

O volume de uma pirâmide corresponde a um terço do produto entre a área da base e a altura. Lembre-se de que a base de uma pirâmide é uma forma geométrica plana.

 (V_{pirâmide}=rac{1}{3}A_b.h)

• Exemplo:

Uma pirâmide de base quadrada possui 10 cm de altura e 3 cm de aresta da base. Determine seu volume.

Resolução:

Primeiro precisamos encontrar a área da base quadrada:

(A_b=3.3=9 cm²)

Portanto, o volume da pirâmide é

(V_{pirâmide}=rac{1}{3}9.10=30cm³)

→ Volume do cilindro

O volume de um cilindro é obtido pelo produto entre a área da base e a altura. Como a base de um cilindro é um círculo, cuja área é dada por πr2  (em que r  é o raio do círculo), a expressão do volume do cilindro é:

(V_{cilindro}=A_b.h=pi r^2h)

• Exemplo:

Calcule o volume de um cilindro de 6 cm de altura cujo raio da base mede 4 cm.

Resolução:

O volume desse cilindro é

(V_{cilindro}=pi4^26= 96pi cm³)

→ Volume do cone

O volume de um cone corresponde a um terço do produto entre a área da base (que é a área de um círculo de raio r ) e a altura.

(V_{cone}=rac{1}{3}A_b.h=rac{1}{3}pi r^2.h)

• Exemplo:

Qual o volume de um cone com 12 cm de altura e 3 cm de raio da base?

Resolução:

O volume desse cone é:

(V_{cone}=rac{1}{3}pi3^2.12 =36 cm³)

→ Volume da esfera

O volume de uma esfera corresponde a quatro terços do produto entre π  e r3 , sendo r o raio da esfera.

(V_{esfera}=rac{4}{3}pi r^3)

• Exemplo:

Qual o volume de uma esfera com 2 cm de raio?

Resolução:

O volume dessa esfera é:

(V_{esfera}=rac{4}{3}pi2^3=rac{32}{3}pi cm³)

Veja também: Diferença entre circunferência, círculo e esfera

Diferença entre volume e capacidade

Os conceitos de volume e capacidade são semelhantes, mas não são iguais. Enquanto o volume é o espaço ocupado por um corpo (como um sólido geométrico), capacidade é o espaço disponível no interior de um objeto. Em outras palavras, a capacidade é o volume interno de um recipiente. Isso significa que a capacidade não leva em consideração a espessura do recipiente.

Apesar dos conceitos distintos, as unidades de medida de volume e capacidade se relacionam. As unidades de medida de capacidade que mais utilizamos são o litro (L) e o mililitro (mL), estecorresponde a um milésimo do litro. Essas unidades aparecem, por exemplo, em embalagens de garrafas de água, leite, sucos, chás, refrigerantes e outras bebidas. Também é comum o uso do mililitro em remédios e do litro na capacidade de tanques de gasolina. 1 metro cúbico vale 1000 litros e, consequentemente, 1 centímetro cúbico vale 1 mililitro.

Exercícios resolvidos sobre volume de sólidos geométricos

Questão 1

Um cubo possui 64 m³ de volume. Se a  é a aresta desse cubo, então:

A) a = 1  m

B) a = 2  m

C) a = 3  m

D) a = 4  m

E) a = 5  m

Resolução:

Alternativa D.

O volume de um cubo é dado por a3 , em que a  é a medida da aresta. Assim,

(V_{cubo}=a^3)

(64=a^3)

(a = 4 cm)

Questão 2

Pedro estava estudando dois sólidos geométricos:

I. Pirâmide de base quadrada com altura 3 cm e lado da base 4 cm.

II. Esfera com 5 cm de raio.

Utilizando a aproximação π = 3 , determine qual dos sólidos possui maior volume.

Resolução:

Primeiro vamos calcular o volume da pirâmide. Como a base da pirâmide é um quadrado de lado com 4 cm, a área da base da pirâmide mede 16 cm². Assim,

(V_{esfera}=rac{1}{3}.{16.3}=16 cm³)

Agora vamos calcular o volume da esfera.

Como o raio r  da esfera mede 1 cm e devemos utilizar a aproximação π = 3  , concluímos que:

(V_{esfera}=rac{4}{3}.{3.1}^3=4 cm³)

Portanto, nesse caso, a pirâmide é o sólido com maior volume.