Seno, cosseno e tangente

Seno, cosseno e tangente são razões que relacionam as medidas de lados com as medidas de ângulos de um triângulo retângulo. Essas razões são conhecidas como relações trigonométricas. Para defini-las, é importante conhecer alguns elementos do triângulo retângulo, que serão discutidos a seguir:

Elementos do triângulo retângulo

Um triângulo retângulo é um polígono de três lados que possui um ângulo interno reto. É impossível que um triângulo possua dois ou mais ângulos iguais ou superiores a 90°.

Triângulo com um ângulo medindo 90°

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais de acordo com a sua posição. O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa. Os outros dois lados são chamados de catetos.

Para as razões trigonométricas, é importante destacar que um cateto pode ser oposto ou adjacente dependendo do ângulo que estiver sendo analisado. Por exemplo, no triângulo acima, o lado AB é a hipotenusa, e o lado BC é cateto oposto ao ângulo α e cateto adjacente ao ângulo β. Já o lado AC é cateto adjacente ao ângulo α e cateto oposto ao ângulo β.

Razão seno

Em dado triângulo retângulo ABC, dizemos que o seno do ângulo α é igual à medida do cateto oposto ao ângulo α, dividido pela medida da hipotenusa do triângulo. Em outras palavras:

Senα = Cateto oposto a α
          hipotenusa

O triângulo a seguir, por exemplo, possui medidas reais de um triângulo retângulo.

 

Note que α = 30°, assim,

Sen30° = 1
              2

Essa medida é válida para todo triângulo que possui um ângulo de 30°, assim, independentemente das medidas de seus lados, o cateto oposto ao ângulo de 30° sempre terá metade do comprimento da hipotenusa.

Sabendo disso, quando um triângulo retângulo possuir um ângulo de 30°, será possível determinar a medida de um de seus lados, hipotenusa ou cateto oposto ao ângulo de 30°, sabendo apenas a medida do outro. No triângulo a seguir, por exemplo, podemos determinar a medida de x.

Observe que o cateto oposto ao ângulo de 30° mede 10 cm e que a hipotenusa desse triângulo é desconhecida. Sabendo que o sen30° = 1/2, podemos fazer:

sen30° = 10
              x

1 = 10
2     x 

x = 2·10

x = 20 cm.

Vale destacar que o seno (o cosseno e a tangente) de um ângulo só variam de acordo com a variação do ângulo, isto é, independentemente do comprimento dos lados do triângulo, sempre que o seno observado for o de 30°, seu valor será 1/2.

Razão cosseno

A rasão cosseno é semelhante à razão seno, entretanto, é definida como a divisão entre o cateto adjacente a um ângulo e a hipotenusa do triângulo retângulo. Sendo assim, o cosseno do ângulo α é:

Cosα = Cateto adjacente a α
           Hipotenusa

Essa razão pode ser usada para os mesmos fins que a razão seno: encontrar a medida do cateto oposto ou da hipotenusa com a medida de um desses dois lados. Para tanto, é necessário conhecer os valores do cosseno do ângulo em questão.

Razão tangente

A razão tangente é dada pela divisão entre o cateto oposto ao ângulo α pelo cateto adjacente ao ângulo α. Em outras palavras:

tgα =    Cateto oposto a α     
        Cateto adjacente a α

Vale lembrar que, independentemente das dimensões do triângulo, os valores de seno, cosseno e tangente de um ângulo só mudam se esse ângulo for alterado.

Tabela de valores de seno, cosseno e tangente de ângulos notáveis

A tabela a seguir contém os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos mais importantes para esse conteúdo.

 Tabela de valores das razões trigonométricas para ângulos notáveis

Essa tabela contém os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos 30°, 45° e 60°. Ela deve ser usada para descobrir um dos lados de um triângulo, conforme o exemplo a seguir:

Exemplo: determine o valor de x do seguinte triângulo:

Nesse triângulo, um ângulo tem 30°, o seu cateto oposto mede 10 cm e queremos descobrir a medida de seu cateto adjacente. A razão trigonométrica que usa o cateto oposto e o cateto adjacente é a tangente. Assim:

tg30° = 10
            x

A partir da tabela de valores dada acima, descobrimos que tg 30° = √3. Substituindo esse valor na razão da tangente, teremos:

√3 = 10
        x

x√3 = 10

x = 10
     √3

 

Racionalizando a fração, teremos:

 

x = 10√3
      3

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