Polígonos convexos e seus elementos

Todos temos alguma ideia do que é uma reta: uma linha que não faz curva alguma. Quando essa reta recebe um corte em qualquer lugar de sua extensão, chamamos as duas partes formadas de semirretas. Sabendo que as retas são infinitas para qualquer um de seus lados, essas duas partes do corte feito na reta possuem um ponto inicial e um ponto final. Caso seja realizado um segundo corte em alguma das semirretas, a figura formada passará a ter também um ponto inicial e um ponto final, configurando o que conhecemos como segmento de reta.

Ao juntar segmentos de reta, uma das figuras formadas é conhecida como polígono.

Para ser polígono, a figura geométrica deve cumprir as seguintes condições:

1- Os segmentos de reta devem ser ligados por suas pontas, de modo que formem uma única linha;

2- Os segmentos de reta não podem cruzar-se;

3- a figura deve ser fechada, isto é, todos os segmentos de reta devem encontrar outros segmentos em seus pontos iniciais e finais.

Na imagem acima, as figuras A, B e C cumprem todos os pré-requisitos para serem consideradas polígonos. Já a figura D é aberta e a figura E tem dois segmentos de reta que se cruzam, logo, não são polígonos.

Outra característica importante dos polígonos é se eles são ou não convexos. Essa definição é importante em virtude da existência dos ângulos internos do polígono. Um polígono convexo sempre terá ângulos internos menores que 180°. O mesmo não pode ser afirmado sobre um polígono não convexo.

Polígono convexo é aquele em que, marcando dois pontos no seu interior, a ligação entre esses dois pontos sempre será totalmente interior ao polígono, independentemente do local escolhido para os dois pontos.

A imagem acima mostra um polígono A em que, independentemente da localização dos pontos P e Q, o segmento PQ sempre estará totalmente no interior do polígono. Já o polígono B oferece muitas opções para se desenhar um segmento de reta com um pedaço exterior ao polígono, como os pontos R e S escolhidos dentro dele. A é um exemplo de polígono convexo e B é um exemplo de polígono não convexo. A impressão que se tem ao olhar para um polígono não convexo é a de que ele tem uma entrada parecida com uma “boca”.

Todo polígono convexo possui os seguintes elementos:

1- Lados: cada segmento de reta que compõe o polígono;

2- Ângulos internos: ângulos entre dois segmentos de reta consecutivos no interior do polígono;

3- Ângulos externos: São os ângulos no exterior do polígono formados pelo prolongamento de um ângulo interno. A soma entre o ângulo interno e sua extensão (ângulo externo) sempre será 180°;

4- Vértices: São os pontos de encontro entre dois lados consecutivos;

5- Diagonais: Todos os segmentos de reta resultantes da ligação entre dois vértices não consecutivos de um polígono.

O polígono da imagem acima tem todos esses elementos representados. O segmento AB é um exemplo de lado; o ângulo de 128,57° é um exemplo de ângulo interno; o ângulo de 51,43° é um exemplo de ângulo externo; o ponto A é um exemplo de vértice; e qualquer segmento pontilhado no interior do polígono é um exemplo de diagonal.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

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