Sistemas lineares

Um sistema linear é um conjunto formado por uma quantidade qualquer de equações que possuem um número qualquer de incógnitas. Em outras palavras, dadas duas equações, por exemplo, 2x + y = 0 e 4x + 3y = 0, se x assume o mesmo valor para ambas as equações, e o mesmo ocorre com y, então podemos dizer que elas formam um sistema linear, com duas equações e duas incógnitas.

Definição formal de sistemas lineares

Um sistema é um conjunto que possui m equações com n incógnitas. A relação entre o número de incógnitas e de equações de um sistema pode assumir qualquer uma das três hipóteses: m > n; m = n ou m < n.

Para representar um sistema de equações, devemos colocá-las em sua forma mais simplificada, uma embaixo da outra, e, de preferência, posicionar termos semelhantes um abaixo do outro. À esquerda das equações, usamos o símbolo “{” indicando que aquele conjunto é um sistema linear. Sabendo que as equações 2x + 4y = 50 e x + y = 20, por exemplo, formam um sistema linear com duas equações e duas incógnitas, podemos representá-lo da seguinte maneira:

Classificação de sistemas

Os sistemas lineares podem ser classificados em três grupos: sistema possível e determinado, sistema possível e indeterminado e sistema impossível.

Um sistema é possível e determinado quando podemos encontrar sua solução única, que é um valor numérico real para cada incógnita presente nele.

Um sistema é possível e indeterminado quando não podemos encontrar sua solução única. Nesse caso, são encontrados infinitos resultados, todos eles servindo como possíveis soluções para o sistema.

Um sistema é impossível quando não podemos encontrar uma solução única ou infinitos resultados para ele. No sistema formado pelas equações x + y = 10 e x + y = 20, por exemplo, note que a soma de dois números reais distintos não pode ter dois resultados também distintos. Assim, esse sistema é impossível.

Solução de sistemas lineares

Resolver um sistema é encontrar os valores de suas incógnitas. Um sistema pode ter dois tipos de resultado: um resultado único, em que são encontrados os valores de todas as incógnitas, ou infinitos resultados, com um conjunto de soluções determinado de acordo com as informações do sistema.

Para resolver um sistema, existem algumas técnicas. Neste artigo, apresentaremos duas delas: método da adição e método da substituição.

Método da substituição

O método da substituição consiste em seguir o passo a passo para resolver um sistema de equações:

1º – Escolher uma das equações e encontrar o valor algébrico de uma de suas incógnitas.

2º – Após substituir o valor algébrico dessa incógnita em outra equação, simplifique o resultado e, se isso resultar em uma equação simples de uma incógnita, resolva-a. Se resultar em uma equação com duas incógnitas ou mais, encontre o valor algébrico de uma das incógnitas e substitua esse resultado em outra equação.

3º – Finalizado o processo acima, restará uma equação do primeiro grau com uma incógnita. Resolvendo-a, encontraremos o valor numérico de uma das incógnitas do sistema. Para encontrar o valor numérico das outras, deveremos substituir o número encontrado nas outras equações.

Observe o que foi feito para resolver o sistema a seguir:

Escolhemos as equações I e II para realizar os passos descritos acima:

Note que esse procedimento já garantiu o valor numérico da incógnita y. Para encontrar o valor numérico da incógnita x, escolheremos a segunda equação e substituiremos nela y = 5.

Método da adição

O método da adição consiste em somar os termos semelhantes de todas as equações de um sistema e simplificar o resultado, com o objetivo de eliminar incógnitas nesse processo. No sistema formado pelas equações 2x + 3y = 20 e x – 3y = 10, por exemplo, o simples fato de somar termos semelhantes de ambas as equações oferece-nos o seguinte resultado: 3x + 0y = 30 ou 3x = 30.

Resolvendo essa equação, encontramos o valor numérico da primeira incógnita e, após substituí-lo em uma das equações, obtemos o valor numérico da segunda incógnita.

Perceba que somente foi possível eliminar a incógnita y porque o termo 3y é positivo na primeira equação e negativo na segunda. Quando isso não acontece a uma das incógnitas, é possível transformar a equação em outra equivalente, que possui o inverso aditivo buscado.

Para tanto, basta multiplicar ambos os membros da equação por um fator qualquer, escolhido entre os números reais, de modo que uma das incógnitas nessa equação torne-se inverso aditivo.

Exemplo:

Como a soma dos termos semelhantes desse sistema é igual a 3x + 5y = 70, isso não contribui para a sua solução. Então, as opções para tornar essa adição possível são: multiplicar a segunda equação por – 2 para eliminar a incógnita x ou multiplicar por – 4 para eliminar a incógnita y; dividir a primeira equação por – 2 para eliminar a incógnita x ou por – 4 para eliminar a incógnita y. Entre essas opções, escolheremos a primeira pelo simples fato de não tornar os cálculos posteriores mais difíceis. Observe:

Para finalizar esses cálculos, basta resolver a equação obtida e substituir seu resultado em uma das equações do sistema.

Aproveite para conferir nossa videoaula relacionada ao assunto: