Propriedades da multiplicação para cálculo mental

A multiplicação é uma das quatro operações matemáticas básicas e possui propriedades que podem contribuir para o cálculo mental e para agilizar as contas.

A multiplicação também é conhecida como “produto”. Assim, quando falamos no produto entre dois números, referimo-nos ao resultado da multiplicação entre eles. Cada número que é multiplicado recebe o nome de fator. Logo, na multiplicação 9·3·7, os fatores são: 9, 3 e 7.

A seguir discutiremos cada uma das propriedades da multiplicação. Vamos lá?

→ Primeira propriedade: Comutatividade

Essa propriedade é tão famosa que é usada por muitos como ditado: “A ordem dos fatores não altera o produto”. Isso significa que, em uma multiplicação, a ordem em que os números são multiplicados não altera o seu resultado. Matematicamente:

Dados a e b pertencentes aos reais, teremos:

a·b = b·a

Por exemplo, 9·7 = 7·9 = 63.

Essa propriedade é útil para o cálculo mental unida à próxima.

→ Segunda propriedade: Associatividade

Essa propriedade envolve a multiplicação de três ou mais números. Esse tipo de multiplicação sempre é realizado dois a dois e a propriedade afirma que você pode multiplicar primeiro quaisquer pares de números que estejam lado a lado. Matematicamente, ela é escrita da seguinte maneira:

Dados os números reais a, b e c, teremos:

(a·b)·c = a·(b·c)

Por exemplo:

(3·4)·5 = 12·5 = 60

3·(4·5) = 3·20 = 60

Unindo essas duas propriedades (comutatividade e associatividade), podemos afirmar que uma cadeia de multiplicações pode ser feita em qualquer ordem. Assim, multiplique primeiramente os fatores que você já sabe o resultado e deixe os outros fatores por último. Muitas vezes os algarismos que aparecem nos resultados mudam e tornam a multiplicação mais fácil.

→ Terceira propriedade: Potências de base 10

Quando a multiplicação envolve uma potência de base 10, que são os números 1, 10, 100, 1000 etc., não é necessário realizar multiplicação alguma. Basta contar quantos zeros a potência de 10 possui e colocá-los no final do outro fator. Observe o exemplo:

326·10000 = 3260000

O resultado sempre seguirá essa lógica.

→ Quarta propriedade: Múltiplos de 10

Quando um dos fatores for um múltiplo de 10, o resultado seguirá uma lógica parecida com a anterior, entretanto, apenas para os zeros que aparecem após o último algarismo não nulo (diferente de zero). Observe o exemplo abaixo:

200·304000

Observe que serão dois zeros do fator 200 e três zeros do fator 304000 que serão colocados no final do resultado. Desse modo, multiplique apenas 2 por 304 e coloque os cinco zeros (2 pegos no 200 e 3 pegos no 304000) ao final.

2·304 = 608. Então:

200·304000 = 60800000

→ Quinta propriedade: distributividade

Essa é a única propriedade que envolve adição e multiplicação ao mesmo tempo. Lembre-se de que é necessário realizar as multiplicações primeiro para depois partir para adições e subtrações. Eis o que diz a propriedade: “O produto da soma é igual à soma dos produtos”.

Em outras palavras, quando o fator de uma multiplicação for um número real a e houver uma soma entre os números reais b e c, poderemos optar por multiplicar a por b e a por c e depois somar os resultados. Matematicamente:

Dados os números reais a, b e c, teremos:

a·(b + c) = a·b + a·c

→ Multiplicação por fatores diversos

As propriedades anteriores unidas permitem que o seguinte seja feito: Quando for necessário realizar uma multiplicação, decomponha um dos fatores em múltiplos de 10, multiplique cada um deles pelo outro fator – utilizando os conhecimentos sobre multiplicação por múltiplos de 10 – e, por fim, some os resultados. Por exemplo:

325·50

(300 + 20 + 5)·50

Sabendo que 3·5 = 15, concluímos que 300·50 = 15000. De forma idêntica, encontramos os outros resultados:

15000 + 1000 + 250 = 16250

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática