Geometria Analítica

 A Geometria Analítica é uma área da Matemática que estuda a Geometria utilizando ferramentas da Álgebra. Em outras palavras, é por meio dessa área que podemos relacionar esses dois campos de conhecimento.

Dessa maneira, é por meio da Geometria Analítica que figuras geométricas podem ter suas definições, propriedades e características analisadas com o uso de processos algébricos. Assim, essa área de estudo oferece recursos diferentes da Geometria clássica para resolver problemas, expandindo o conhecimento.

Bases da Geometria Analítica

A Geometria Analítica é construída sobre um plano, chamado plano cartesiano, e depois é expandida para o espaço, que possui as mesmas características do plano cartesiano. É sobre esse plano que são construídas e estudadas todas as figuras geométricas bidimensionais.

Um plano cartesiano é formado por duas retas numéricas perpendiculares que se encontram em suas origens. A imagem a seguir exemplifica esse plano:

Nesse plano, é possível marcar a localização de pontos, uma vez que ele é formado por duas retas numéricas. Para tanto, basta determinar as duas coordenadas desse ponto. Na imagem acima, por exemplo, o ponto A possui coordenadas 2 e 3. Logo, sua localização é A = (2, 3).

A primeira coordenada está ligada ao eixo horizontal, chamado eixo x, e a segunda está ligada ao eixo vertical, chamado eixo y. A ordem em que essas coordenadas são dadas não pode ser alterada e será sempre essa.

O espaço segue o mesmo raciocínio do plano, com a diferença de que serão três coordenadas, já que o espaço possui três dimensões.

Distância entre dois pontos

A segunda base da Geometria Analítica é a distância entre dois pontos. É por meio dela que muitas das propriedades e características estudadas nessa área da Geometria são demonstradas. Essa distância também é usada na definição de algumas figuras geométricas.

Dados os pontos A = (x_A, y_A) e B = (x_B, y_B), a distância entre esses dois pontos pode ser encontrada por meio do teorema de Pitágoras. Observe as suas localizações ilustradas no plano cartesiano:

A distância entre dois pontos é sempre o segmento de reta que os liga. Fechando o triângulo como feito na imagem acima, teremos um triângulo retângulo. Observe que a hipotenusa é o lado AB, e os catetos medem x_B – x_A e y_B – y_A. Assim, usando teorema de Pitágoras, teremos:

AB² = (x_B – x_A)² + (y_B – y_A)²

AB = √[(x_B – x_A)² + (y_B – y_A)²]

Como a distância entre os pontos A e B é igual ao comprimento do segmento AB, então essa é a fórmula que deve ser usada para calcular essa distância.

O que a Geometria Analítica estuda?

Os conceitos estudados pela Geometria Analítica são, basicamente, os mesmos da Geometria clássica. A grande diferença é que a Geometria Analítica faz uso de processos algébricos para criar fórmulas, como a distância entre dois pontos, que servem para caracterizar e descobrir propriedades de figuras geométricas.

Entre os temas estudados na Geometria Analítica, estão:

1 – Estudo analítico do ponto;

2 – Estudo analítico da reta;

3 – Distância entre dois pontos;

4 – Distância entre ponto e reta;

5 – Equação geral, fundamental e reduzida da reta;

6 – Equação da circunferência;

7 – Cônicas;

8 – Vetores