Coordenadas do vértice da parábola

As funções do segundo grau podem ser representadas no plano cartesiano por meio de parábolas. O vértice de uma parábola é o ponto mais alto dela quando sua concavidade está voltada para baixo ou é o ponto mais baixo quando a concavidade está voltada para cima. Como estamos falando de funções no plano cartesiano, podemos pensar em coordenadas do vértice da parábola, que são dadas pelas seguintes equações:

x_v = – b
        2a

y_v = – Δ
        4a

Nessas fórmulas, x_v e y_v são as coordenadas do vértice V(x_v, y_v). Além dessas duas formas, também existe um método que faz uso das raízes da função para encontrar as coordenadas do vértice. Esse método também pode ser usado para demonstrar essas fórmulas.

Método das raízes

Para encontrar as coordenadas do vértice de uma parábola, tendo como base essa figura no plano cartesiano ou a própria função que a representa, podemos utilizar um método baseado em suas raízes, que consiste em fazer o seguinte:

1 – Determinar as raízes x₁ e x₂ da função;

2 – Encontrar o ponto médio do segmento cujas extremidades são as raízes x₁ e x₂. Esse ponto médio é justamente a coordenada x_v do vértice.

3 – Encontrar o valor da função no ponto x_v, ou seja, calcular f(x_v) tem como resultado o valor da coordenada y_v do vértice.

Exemplo: Observe a parábola da figura a seguir, que representa a função f(x) = x² – 16.

Sabendo que as raízes de uma função são os valores de x que fazem f(x) = 0, então as raízes dessa parábola são 4 e – 4. O ponto médio do segmento AB, cujas extremidades são as raízes, é justamente o ponto C cuja coordenada x coincide com a coordenada x_v do vértice. Essa regra é válida para toda parábola que possui raízes.

Para encontrar a coordenada y_v do vértice, devemos calcular f(x_v):

f(x) = x² – 16

y_v = f(x_v) = (x_v)² – 16

y_v = (0)² – 16

y_v = – 16

Observando o gráfico, podemos perceber que esse valor obtido coincide com a coordenada y_v do vértice.

Esse cálculo sempre pode ser feito quando a função do segundo grau apresenta raízes. Para saber se uma função do segundo grau possui raízes, basta avaliar o valor do seu discriminante. Se ele não for negativo, a função possui raízes. Para esse cálculo, podemos observar o valor das raízes no gráfico da função, entretanto, quando não houver gráfico, podemos usar a fórmula de Bháskara para descobrir seus valores.

Quando a função não possui raízes, basta usar as fórmulas dadas no início deste artigo para descobrir as coordenadas do vértice.

Exemplo

Quais as coordenadas do vértice da função: f(x) = x² – 12x + 20?

Solução: Como essa função possui raízes, as coordenadas de seu vértice podem ser encontradas por meio do método das raízes. Entretanto, usaremos as seguintes fórmulas:

x_v = – b
        2a

x_v = – (– 12)
             2   

x_v = 12
        2

x_v = 6

y_v = – (b² – 4·a·c)
               4a      

y_v = – ([– 12]² – 4·1·[20])
                     4          

y_v = – (144 – 80)
                4     

y_v = – (64)
           4

y_v = – 16