Polígonos

Polígonos são figuras geométricas planas e fechadas formadas por segmentos de reta que se encontram nas extremidades. Cada segmento é um lado do polígono, e o ponto de encontro de dois segmentos adjacentes é um vértice.

Triângulos, quadrados, retângulos, losangos e pentágonos são alguns exemplos de polígonos. Já a circunferência e o círculo não são polígonos, pois são formados por curvas, e não por segmentos de reta.

Leia também: Polígonos inscritos e circunscritos e seus principais elementos e propriedades

Resumo sobre os polígonos

• Polígonos são figuras geométricas planas com as seguintes características: contornos fechados e formados por segmentos de reta que se encontram somente nas extremidades.
• Triângulos, quadrados, retângulos, trapézios, pentágonos e hexágonos são exemplos de polígonos.
• Vértices, lados e ângulos internos são os principais elementos dos polígonos.
• Perímetro de um polígono é a soma dos lados de um polígono.
• A área de um polígono é a medida de sua superfície.
• Em um polígono convexo com n lados, a soma S_n dos ângulos internos é obtida pela expressão

$S_n=\left(n-2\right)\cdot180°$

• A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre igual a 360°.

Videoaula sobre polígonos

O que são polígonos?

Polígonos são figuras geométricas planas e fechadas formadas por segmentos de reta que se interceptam apenas nas extremidades. A palavra polígono tem origem grega: póly (vários) e gonía (ângulos). Veja a seguir alguns exemplos de figuras que são polígonos:

Importante: se são considerados polígonos as figuras que possuem as características acima, não são classificadas como polígonos as figuras abertas, fechadas com segmentos que se interceptam fora das extremidades e fechadas de contornos curvos. Veja a seguir alguns exemplos de figuras que não são polígonos:

Quais são os elementos dos polígonos?

Os principais elementos de um polígono são os lados, os vértices e os ângulos internos. Além deles, outros elementos importantes são os ângulos externos e as diagonais. Veja sobre cada um deles a seguir.

• Vértice: ponto de encontro de dois segmentos de reta adjacentes. Os vértices são representados por letras maiúsculas.
• Lado: segmento de reta que forma o contorno do polígono. Os lados são representados pelas letras maiúsculas dos respectivos vértices com um traço horizontal acima.
• Ângulo interno: abertura formada entre dois lados adjacentes. Os ângulos internos são representados pelo respectivo vértice com um acento circunflexo.

Observe o triângulo ABC abaixo, polígono no qual os vértices são A, B e C; os lados são $\overline{AB},\overline{BC}$ e $\overline{CA}$; os ângulos são $\hat{A}$, $\hat{B}$ e $\hat{C}$ .

• Ângulos externos: são as aberturas entre um lado do polígono e o prolongamento do lado adjacente.

Importante: o número de vértices, lados e ângulos (internos e externos) de um polígono é o mesmo. Assim, um polígono de n lados terá n vértices, n ângulos internos e n ângulos externos.

• Diagonais: são os segmentos de reta que unem vértices não consecutivos em um polígono com 4 lados ou mais. Veja o quadrado ABCD abaixo, polígono no qual em roxo e em laranja temos suas diagonais:

Classificação dos polígonos

As principais classificações de polígonos são: polígonos convexos e polígonos regulares.

→ Polígono convexo

Polígono convexo é o polígono em que, dados dois pontos que pertencem ao polígono, o segmento que une esses pontos também pertence ao polígono. Na imagem abaixo, o polígono que está à sua esquerda é convexo, enquanto o polígono que está à sua direita não é convexo.

→ Polígono regular

Polígono regular é o polígono em que todos os lados e ângulos (internos e externos) são congruentes (ou seja, possuem a mesma medida). Por exemplo, um triângulo regular é chamado de triângulo equilátero e possui 3 ângulos internos de 60°. Na imagem abaixo, o polígono à esquerda é um quadrilátero regular (quadrado), enquanto o polígono à direita é um quadrilátero não regular (nesse caso, um retângulo).

Nomenclatura dos polígonos

O nome de um polígono de três lados é triângulo e de quatro lados é quadrilátero. Existem diferentes tipos de quadriláteros, como o quadrado, o retângulo, o losango e o trapézio. Já a nomenclatura para polígonos com 5 lados ou mais segue um padrão. A primeira parte do nome se refere à quantidade de lados, e a segunda parte é o termo grego gono. Veja:

5 lados – pentágono

6 lados – hexágono

7 lados – heptágono

8 lados – octógono

9 lados – eneágono

10 lados – decágono

Perímetro dos polígonos

O perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados.

• Exemplo:

Os lados de um triângulo medem 3 cm, 4 cm e 5 cm. Qual o perímetro desse polígono?

Resolução:

O perímetro do triângulo é 12 cm, pois

$3\ +\ 4\ +\ 5\ =\ 12$

Área dos polígonos

A área de um polígono é a medida de sua superfície. Alguns polígonos simples possuem fórmulas próprias para o cálculo de sua área. A imagem a seguir apresenta algumas dessas expressões.

• Exemplo:

Qual a área de um terreno retangular com 15 m de comprimento e 12 m de largura?

Resolução:

A área desse terreno é igual a 180 m², pois

$A_{retângulo}=15m⋅12m=180 m^2$

Outros polígonos que também possuem fórmulas específicas para o cálculo da área são o trapézio, o losango e os polígonos regulares, como o pentágono regular, hexágono regular, heptágono regular, etc.

Para calcular a área de polígonos menos usuais, devemos repartir sua superfície em formatos mais comuns. Assim, a área do polígono será uma soma de áreas conhecidas.

• Exemplo:

Calcule a área do polígono abaixo.

Resolução:

Note que esse polígono pode ser repartido em duas regiões: uma superior e uma inferior. A região superior é um retângulo cujos lados medem 2 e 5, e a região inferior é um quadrado de lado 2.

Assim, a área desse polígono é a soma da área do retângulo e da área do quadrado:

$A=\left(5\cdot2\right)+\left(2^2\right)$

$A\ =14$

Soma dos ângulos internos de um polígono

A soma S_n  dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é dada por:

$S_n=\left(n-2\right)\cdot180°$

• Exemplo:

Qual a soma dos ângulos internos de um pentágono?

Resolução:

Como o pentágono é um polígono com 5 lados, temos

$S_5=\left(5-2\right)\cdot180°$

$S_5=540°$

Soma dos ângulos externos de um polígono

A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre igual a 360°, independentemente do número de lados do polígono.

Veja também: Poliedros — os sólidos geométricos que possuem todas as suas faces formadas por polígonos

Exercícios resolvidos sobre polígonos

Questão 1

O perímetro de um quadrado mede 52 cm. A área desse quadrado é, em cm², igual a

A) 130

B) 169

C) 260

D) 520

E) 676

Resolução:

Alternativa B.

Um quadrado possui quatro lados de tamanho l . Assim,

$Perímetro=4⋅l$

$52\ =\ 4\cdot l$

$l=\frac{52}{4}=13 cm$

Portanto,

$Área=l^2$

$Área=13^2=169 cm^2$

Questão 2

(Faap) A medida mais próxima de cada ângulo externo do heptágono regular da moeda de R$ 0,25 é:

A) 60°

B) 45°

C) 36°

D) 83°

E) 51°

Resolução:

Alternativa E.

Um heptágono regular possui 7 ângulos externos congruentes. Como a soma dos ângulos é 360°, a medida de cada ângulo externo α  é

$\alpha=\frac{360°}7≈51,43$

Fontes

LIMA, E. L. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA, 2014.

REZENDE, E.Q.F.; QUEIROZ, M. L. B. de. Geometria Euclidiana Plana: e construções geométricas. 2ª ed. Campinas: Unicamp, 2008.