Volume da pirâmide

O volume da pirâmide é calculado por meio do produto entre a área da base e a altura dividido por três. A área da base da pirâmide é calculada de acordo com o polígono que forma essa base. Vale ressaltar que o volume da pirâmide é igual à terça parte do volume do prisma que possui a mesma base e a mesma altura.

A pirâmide é um sólido geométrico com faces laterais triangulares, e a base pode ser formada por polígonos, como triângulo, quadrado ou hexágono.

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Qual a fórmula do volume da pirâmide?

Para determinar a fórmula do volume de uma pirâmide, é necessário identificarmos dois elementos importantes: a altura e a área da base.

A fórmula utilizada para calcular o volume da pirâmide é o produto entre a área da base e a altura dividido por três.

(mathbf{V}=rac{mathbf{A}_mathbf{b}cdotmathbf{h}}{mathbf{3}})

• V: volume

• A_b: área da base

• h: altura

Para que seja possível calcular o volume, é fundamental conhecermos o formato da base da pirâmide, pois a área da base depende do polígono. A pirâmide pode ser formada por um polígono qualquer, como um quadrado, um retângulo, um hexágono, um triângulo, entre outros.

Pirâmide de base triangular

Vamos começar pela pirâmide de base mais simples, a pirâmide de base triangular. Como o nome sugere, é a pirâmide que possui a base formada por um triângulo.

Vejamos um exemplo de cálculo do volume desse tipo de pirâmide.

Exemplo: Uma pirâmide possui base triangular. Considerando que a altura é de 20 cm, que o triângulo da base possui lado medindo 8 cm e que a altura relativa a esse lado mede 6 cm, calcule o volume da pirâmide.

Resolução:

Primeiramente, calcularemos a área da base da pirâmide. A base é um triângulo, então a área da base é:

(A_b=rac{bcdot h}{2})

Se b = 8 e h = 6, temos que:

(A_b=rac{8cdot6}{2})

(A_b=rac{48}{2})

(A_b=24 cm²)

Conhecendo a área da base, é possível calcular o volume:

(V=rac{A_bcdot h}{3})

A altura da pirâmide é de 20 cm, e a área da base é de 24 cm². Logo:

(V=rac{24cdot20}{3})

(V=rac{480}{3})

(V=160 cm^3)

Pirâmide de base quadrada

A base dessa pirâmide é um quadrado. Sabemos que a área do quadrado é igual ao quadrado do seu lado. Para descobrir o volume dessa pirâmide, portanto, calculamos a área da base por l², sendo l o comprimento do lado da sua base, vezes a altura dividida por três.

Exemplo: Uma pirâmide possui base quadrada. Considerando que o lado dessa base mede 5 cm e que a altura é de 9 cm, qual o volume da pirâmide?

Resolução:

Calculando a área da base:

(A_b=l^2)

(A_b=5^2)

(A_b=25)

Agora, calculando o volume:

(V=rac{A_bcdot h}{3})

(V=rac{25cdot9}{3})

(V=rac{225}{3})

(V=75 cm^3)

Pirâmide de base hexagonal

A base da pirâmide pode ser formada por hexágono também. Quando a base da pirâmide é um hexágono regular, é possível utilizar a fórmula da área da base do hexágono para calcular o volume.

Exemplo: Uma pirâmide possui base formada por um hexágono regular com lados medindo 4 cm.  Se a altura dessa pirâmide é de 8 cm, qual o seu volume?

Resolução:

A base é formada por um hexágono regular. Assim, a área da base dessa pirâmide é calculada pela fórmula:

(A_b=rac{3cdot l^2sqrt3}{2})

(A_b=rac{3cdot4^2sqrt3}{2})

(A_b=rac{3cdot16sqrt3}{2})

(A_b=3cdot8sqrt3)

(A_b=24sqrt3)

Então, o volume será de:

(V=rac{A_bcdot h}{3})

(V=rac{24sqrt3cdot8}{3})

(V=8sqrt3cdot8)

(V=24sqrt3 cm^3)

Leia também: Volume do cilindro — fórmulas e exemplos de cálculo do volume dessa figura geométrica

Qual a relação entre o volume da pirâmide e o volume do prisma?

Comparando o volume de um prisma com o de uma pirâmide, tendo esses sólidos a mesma altura e a mesma área da base, podemos afirmar que o volume da pirâmide é igual a um terço do volume do prisma.

(V_{prisma}=A_bcdot h)

(V_{pirâmide}=rac{A_b⋅h}3)

Note que a fórmula da pirâmide é igual à fórmula do prisma dividida por 3.

Videoaula sobre o volume da pirâmide

Exercícios resolvidos sobre volume da pirâmide

Questão 1

Uma embalagem será confeccionada no formato de uma pirâmide com base quadrada de 5 cm de lado. Nessas condições, qual deve ser a altura da pirâmide para que o seu volume seja igual a 100 cm³?

A) 6

B) 9

C) 12

D) 15

E) 16

Resolução:

Alternativa C

Calculando o volume, temos que:

(V=rac{A_bcdot h}{3})

Como a base é um quadrado de lados medindo 5 cm cada, a área da base (A_b) é 5² = 25 cm. Sabemos também que o volume V = 100, então:

(100=rac{25cdot h}{3})

(100cdot3=25cdot h)

(300 =25h)

(h=rac{300}{25})

(h=12 cm)

Questão 2

Uma pirâmide possui base retangular com lados medindo 8 cm e 10 cm. Se ela possui uma altura de 15 cm, seu volume é de:

A) 250 cm³

B) 300 cm³

C) 350 cm³

D) 400 cm³

E) 450 cm³

Resolução:

Alternativa D

Como a base é um retângulo, a área da base pode ser calculada por:

(A_b=8cdot10=80cm^2)

Sendo a altura de 15 cm, temos que:

(V=rac{A_bcdot h}{3})

(V=rac{80cdot15}{3})

(V = 80 cdot5)

(V = 400 cm³)