Solução de sistemas pelo método da substituição

Sistemas lineares são conjuntos de equações em que as incógnitas possuem o mesmo valor independentemente da equação onde elas estão. O método da substituição é uma das opções existentes para resolver esse tipo de problema.

Para que um conjunto de equações seja considerado um sistema, é necessário que incógnitas iguais representem números iguais. Nesse caso, usamos “abre chave” (o símbolo { é abre chave) para representar essa relação entre as equações. Assim, é um exemplo de sistema:

Observando as equações separadamente, x = 2 e y = 1 é um resultado possível. Verifique isso colocando 2 no lugar de x e 1 no lugar de y e fazendo os cálculos. Para o sistema, esse é o único resultado possível.

Resolver um sistema, portanto, é encontrar os valores de x e y que o tornam verdadeiro.

Método da substituição

Esse método consiste basicamente em três etapas:

• Encontrar o valor algébrico de uma das incógnitas usando uma das equações;

• Substituir esse valor na outra equação. Com isso, encontra-se o valor numérico de uma das incógnitas;

• Substituir o valor numérico já encontrado em uma das equações para descobrir o valor da incógnita ainda desconhecida.

Como exemplo, observe a seguinte solução de um sistema:

Para o primeiro passo, podemos escolher qualquer uma das equações. Sugerimos sempre a escolha daquela que possui pelo menos uma incógnita com coeficiente 1 e essa deve ser a incógnita que terá seu valor algébrico encontrado. Escolheremos, portanto, a segunda e encontraremos o valor algébrico de x. Esse procedimento também é conhecido como “isolar a incógnita”, assim, também podemos dizer que isolaremos x:

x + y = 20

x = 20 – y

Observe que, para esse processo, apenas usamos as regras de solução de equações.

O segundo passo é substituir o valor dessa incógnita na outra equação. Observe que não é permitido substituir o valor de x na mesma equação já usada. Assim, teremos:

5x + 2y = 70

5·(20 – y) + 2y = 70

Aplicando a propriedade distributiva:

100 – 5y + 2y = 70

– 5y + 2y = 70 – 100

– 3y = – 30

3y = 30

y = 30
      3

y = 10

Para cumprir o terceiro passo, basta substituir o valor da incógnita encontrada em qualquer uma das equações. Escolheremos a segunda por possuir os coeficientes menores.

x + y = 20

x + 10 = 20

x = 20 – 10

x = 10

A solução do sistema acima é x = 10 e y = 10, que também pode ser escrita da seguinte maneira: S = {10, 10}. Se essa última for usada, certifique-se de colocar primeiro o valor de x e, em seguida, o de y: S = {x, y}.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

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