Razões trigonométricas

Razão trigonométrica, também chamada de relação trigonométrica, é o nome dado a algumas das divisões possíveis entre os valores de dois lados de um triângulo retângulo. Os resultados dessas divisões estão ligados aos ângulos desse triângulo.

As relações trigonométricas diferem das relações métricas por envolver os ângulos do triângulo. Desse modo, dispondo do valor de um ângulo e do comprimento de um lado, é possível encontrar outros valores por meio dessas relações.

Entretanto, antes de averiguar as razões trigonométricas, devemos conhecer algumas definições dos triângulos retângulos.

→ Nomeando os lados de um triângulo retângulo

Para definir as razões trigonométricas, os lados de um triângulo são nomeados da seguinte maneira:

• O lado maior, que é oposto ao ângulo reto, é chamado de hipotenusa.

• Os lados restantes são chamados de catetos.

• Escolhendo-se o ângulo α, o cateto que estiver oposto a α é chamado de cateto oposto.

• O cateto que “toca” o ângulo α é chamado de cateto adjacente.

Lembre-se de que um lado de um triângulo é oposto a um ângulo quando esse lado não “toca” o ângulo.

→ Razões trigonométricas

Escolhido o ângulo α de um triângulo retângulo, as razões trigonométricas que envolvem esse ângulo são chamadas de seno, cosseno e tangente e são definidas da seguinte maneira:

Senα = cateto oposto a α
            hipotenusa

Cosα = cateto adjacente a α
             hipotenusa

Tgα = cateto oposto a α
          cateto adjacente a α

Dessa forma, para encontrar os valores das razões trigonométricas, basta dividir os comprimentos dos lados do triângulo em questão seguindo as três definições acima.

→ Tabela trigonométrica

É importante observar que, independentemente do comprimento dos lados do triângulo, o valor do seno do ângulo de 30°, por exemplo, sempre será 0,5. Isso acontece em virtude da proporcionalidade entre os triângulos retângulos.

Sempre que dois triângulos retângulos tiverem mais de um ângulo congruente, eles serão proporcionais. Por esse motivo, as razões entre seus lados possuem o mesmo resultado.

Além disso, é possível encontrar o valor fixo de seno, cosseno e tangente de cada ângulo a partir de um triângulo retângulo que possui esse ângulo. Para encontrar, por exemplo, o valor fixo do seno de 45°, basta ter um triângulo retângulo que possui um ângulo de 45° e calcular o valor do sen45° utilizando as razões acima. Observe:

Desse modo,

sen45 = cateto oposto =   2 ≈ 0,7067
    hipotenusa     2,83

Fazendo esse procedimento para todos os ângulos, é possível construir a tabela trigonométrica a seguir. Por meio dela, podemos encontrar os valores de seno, cosseno e tangente de qualquer ângulo “inteiro”.

→Aplicações das razões trigonométricas

As razões trigonométricas são muito úteis para encontrar os valores de um lado de um triângulo retângulo dispondo de um de seus ângulos agudos e do valor de outro lado. Observe o exemplo abaixo:

Utilizando as razões trigonométricas e a tabela acima, é possível encontrar o valor do lado a desse triângulo. Para tanto, lembre-se de que a é o cateto oposto ao ângulo de 30° e de que 2 é o comprimento da hipotenusa do triângulo. Tendo em mãos cateto oposto e hipotenusa, qual é a razão trigonométrica adequada para uso? Seno! Observe:

sen30 = cateto oposto = a
               hipotenusa      2

Agora observe na tabela que seno de 30º equivale a 0,5. Substituindo na expressão acima e ignorando a parte da fórmula, teremos:

sen30 = a
             2

0,5 = a
         2

Agora utilize equações ou multiplique cruzado para encontrar o valor de a:

2·0,5 = a

a = 2·0,5

a = 1

 

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

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