Progressões aritméticas

Uma sequência numérica é chamada de progressão aritmética, ou apenas PA, se a diferença entre qualquer um de seus termos e o termo imediatamente anterior é sempre a mesma.

Observe o exemplo abaixo em que a sequência numérica cumpre essa definição:

(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …)

Observe nesse exemplo que, independentemente do termo escolhido, exceto o primeiro, a diferença entre ele e seu antecessor é sempre 2. Essa diferença é chamada de razão da Progressão Aritmética.

Classificação das progressões aritméticas

Uma progressão aritmética pode ser classificada de três maneiras: crescente, constante ou decrescente.

O primeiro caso acontece quando a razão é positiva. Nesse caso, um termo qualquer é sempre maior que seu antecessor. Observe o exemplo de PA de razão 5 (número positivo).

(2, 7, 12, 17, …)

O segundo caso acontece quando a razão é igual a zero. Nesse caso, qualquer termo é igual ao seu antecessor. Observe o exemplo de PA de razão zero:

(1, 1, 1, 1, …)

O terceiro caso acontece quando a razão é negativa. Nesse caso, qualquer termo é menor que seu antecessor. Observe o exemplo de PA de razão - 2 (número negativo).

(10, 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …)

Termo geral de uma PA

Quando conhecemos o primeiro termo de uma PA (a₁) e sua razão, podemos encontrar um termo que ocupa qualquer outra posição sem que haja necessidade de escrever toda a sequência numérica. Para tanto, utilizamos a seguinte fórmula:

a_n = a₁ + (n – 1)r

a_n é o termo que se quer descobrir e n é a posição que ele ocupa.

Veja um exemplo: dada uma PA de razão 7, com primeiro termo igual a 5, como encontrar o quarto termo dessa PA sem escrever toda a sequência numérica?

A partir da fórmula acima, escrevemos:

a_n = a₁ + (n – 1)r

a₄ = 5 + (4 – 1)7

a₄ = 5 + (3)7

a₄ = 5 + 21

a₄ = 26

Para conferir, vamos escrever toda a sequência. O primeiro termo é 5, e o segundo termo tem que ser igual ao primeiro somado a 7, que é a razão da PA. Isso porque qualquer termo menos seu antecessor resulta na razão. Para encontrar o terceiro termo, adicionamos 7 ao segundo. Para encontrar o quarto termo, adicionamos 7 ao terceiro. Os resultados são:

5, 12, 19, 26

Essa fórmula é mais usada para encontrar termos que ocupam posições muito distantes do início da PA, em casos onde não seria possível escrever toda a sequência para verificar o termo em questão. Veja um exemplo:

Nas mesmas circunstâncias do exemplo anterior, determine o termo 700°.

a_n = a₁ + (n – 1)r

a₇₀₀ = 5 + (700 – 1)7

a₇₀₀ = 5 + (699)7

a₇₀₀ = 5 + 4893

a₇₀₀ = 4898

Soma dos termos de uma PA finita

Também conhecida como soma dos n primeiros termos de uma PA, tendo em mãos o primeiro termo, o último e o número de termos entre eles (contando com os dois), é possível encontrar a soma dos termos de uma PA sem que seja necessário somá-los realmente. A fórmula para isso é a seguinte:

S_n = (a₁ + a_n)n
       2

Exemplo:

Calcule a soma dos 100 primeiros termos da PA seguinte:

(1, 2, 3, 4, …)

Em outras palavras, calcule a soma de todos os números naturais que vão de 1 a 100. Sabendo que o primeiro termo é 1 e o último é 100 e que essa PA possui 100 termos, calculamos:

S_n = (a₁ + a_n)n
      2

S₁₀₀ = (1 + 100)100
           2

S₁₀₀ = (101)100
           2

S₁₀₀ = 10100
           2

S₁₀₀ = 5050

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

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