Probabilidade de um evento complementar

Na teoria das probabilidades, um evento é um subconjunto do espaço amostral. Isso significa que o evento é formado por um conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório, portanto, ele pode possuir desde nenhum até todos os elementos do espaço a que pertence.

Já um evento complementar é formado da seguinte maneira: Se consideramos E um evento, ele faz parte de um subconjunto do espaço amostral Ω. O conjunto dos elementos pertencentes a Ω que não estão presentes em E constitui um subconjunto conhecido como evento complementar de E. Isso pode ser demonstrado da seguinte forma:

Na imagem acima, E é um evento qualquer e E^c é o evento complementar de E.

Exemplo: Considere o lançamento de um dado um experimento aleatório em que os resultados possíveis podem ser observados em sua face superior. Em seguida, imagine que o evento “sair um número composto” pode ser representado pelo seguinte conjunto:

E = {4, 6}

Nesse caso, o evento complementar de E (E^c) é o conjunto:

E^c = {1, 2, 3, 5}

Isso porque o evento complementar de E é o conjunto formado por todos os elementos do espaço amostral que não pertencem a E. Nesse exemplo, portanto, se o número de elementos do evento n(E) for dois, o número de elementos do evento complementar n(E^c) será igual a quatro.

Cálculo da probabilidade de um evento complementar

Existem duas formas de calcular a probabilidade de ocorrência de um evento complementar:

• Calcular a probabilidade de o evento ocorrer e depois diminuir o número obtido de 100% (ou diminuir de um, no caso de haver números decimais no lugar de porcentagens);

• Calcular o número de elementos do evento complementar e calcular normalmente a probabilidade de ocorrência desse evento.

Exemplo: Calcule a probabilidade de, no lançamento de um dado, a face superior não ser um número composto.

P(E^c) = 1 – P(E)

P(E^c) = 1 – n(E)
                  n(Ω)

P(E^c) = 1 – 2
                 6

P(E^c) = 1 – 0,3333…

P(E^c) = 0,6666…

P(E^c) = 66,6% aproximadamente.

Outra forma de calcular essa probabilidade:

P(E^c) = n(E^c)
             n(Ω)

P(E^c) = 4
            6

P(E^c) = 0,66…

P(E^c) = 66,6% aproximadamente.

Note que o resultado de ambas as formas de calcular é o mesmo. Existem casos em que é mais fácil utilizar a primeira forma de cálculo, e outros em que é mais fácil usar a segunda.

Relação entre um evento e seu complementar

Se consideramos E um evento e E^c o seu complementar, a relação possível entre eles pode ser representada da seguinte forma:

E∩E^c = Ø

EUE^c = Ω

Essa relação pode ser compreendida da seguinte maneira: a intersecção entre um evento e seu evento complementar sempre será um conjunto vazio. Isso acontece porque os dois nunca poderão compartilhar elementos (resultados possíveis). A união entre um evento e seu evento complementar sempre resultará no espaço amostral, ou seja, juntos, esses dois conjuntos contêm a totalidade das possibilidades.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

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