Área dos polígonos

A área de um polígono é a medida da superfície dessa figura geométrica. Polígonos são figuras planas e fechadas formadas por segmentos de reta que se encontram nas extremidades. Triângulos, quadrados, retângulos, trapézios, losangos, pentágonos e hexágonos são alguns exemplos de polígonos.

Leia também: O que são poliedros?

Resumo sobre a área dos polígonos

• A medida da superfície de um polígono é sua área.
• A área de um triângulo com base b e altura h é dada por:

(A_{mathrm{triângulo}}=rac{bcdot d}{2})

• A área de um paralelogramo com base b e altura h é dada por:

(A_{mathrm{paralelogramo}}=bcdot h)

• A área de um trapézio com base maior B, base menor b e altura h é dada por:

(A_{mathrm{trapézio}}=rac{(B+b)cdot h}{2})

• A área de um losango com diagonal maior D e diagonal menor d é dada por:

(A_{mathrm{losango}}=rac{Dcdot d}{2})

Unidade de medida da área dos polígonos

A área de um polígono pode ser expressa em diferentes unidades de medida. O metro quadrado (m²) é a unidade padrão de área do Sistema Internacional de Unidades (SI) e corresponde à área de um quadrado com 1 metro de lado.

Exemplos de unidade de medida de área:

km² – quilômetro quadrado

hm² – hectômetro quadrado

dam² – decâmetro quadrado

m² – metro quadrado

dm² – decímetro quadrado

cm² – centímetro quadrado

mm² – milímetro quadrado

Como veremos mais adiante, ao aplicar uma fórmula para calcular a área de um polígono, obtemos o resultado na unidade de medida do lado do polígono elevada ao quadrado. Por exemplo, se o lado de um triângulo está indicado em centímetros (cm), ao utilizar essa medida na fórmula da área do triângulo, obtemos o resultado em centímetros quadrados (cm²).

Observação: Se a unidade de medida do lado não estiver indicada, podemos expressar a unidade de medida da área por u.a. (unidade de área).

Apótema dos polígonos

Apótema de um polígono é o segmento perpendicular a um dos lados com extremidade no centro da figura.

Perímetro dos polígonos

O perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados.

Exemplo:

Um terreno quadrado será cercado por um muro. Se o lado do terreno mede 13 metros, qual será o comprimento do muro?

O comprimento do muro corresponde ao perímetro de um quadrado de lado com 13 metros. Portanto:

Comprimento do muro = 13+13+13+13=52

Veja também: Como calcular a área de figuras planas

Como calcular a área dos polígonos

Vejamos como calcular a área de alguns polígonos.

-> Área do triângulo 

A maneira mais simples de determinar a área de um triângulo é calculando a metade do produto entre a base e a altura. Lembre-se de que a base é um dos lados do triângulo e a altura é a distância entre a base o vértice oposto.

Se a base de um triângulo mede b e a altura mede h, então a área do triângulo é dada por:

(A_{mathrm{triângulo}}=rac{bcdot d}{2})

Exemplo:

Qual a área de um triângulo em que base e a altura medem, respectivamente, 5 cm e 3 cm?

(A_{mathrm{triângulo}}=rac{5 cmcdot 3 cm}{2} = 7,5 cm^2)

Observação: no caso de um triângulo equilátero, em que os três lados têm a mesma medida a, há uma expressão para a área que depende apenas de a.

(A_{triângulo equilátero}=rac{a^2sqrt3}{4})

-> Área do paralelogramo 

Uma das formas de encontrar a área de um paralelogramo é calcular o produto entre a base e a altura. Considera-se como base um dos lados do paralelogramo e como altura a distância entre a base e o lado paralelo.

Se a base de um paralelogramo mede b e a altura mede h, então a área do paralelogramo é dada por:

(A_{mathrm{paralelogramo}}=bcdot h)

Exemplo:

Qual a área de um paralelogramo com base b = 4,5 cm e altura h = 2 cm?

(A_{mathrm{paralelogramo}}=4,5cmcdot 2 cm =9cm^2)

-> Áreas do quadrado e do retângulo

Tanto o quadrado quanto o retângulo são paralelogramos. Assim, o cálculo da área desses dois polígonos é feito da mesma maneira que o cálculo da área de um paralelogramo. Como os lados adjacentes do retângulo (e do quadrado) são perpendiculares, temos que a altura desse polígono é a medida do lado adjacente à base.

No caso específico do quadrado, como os quatro lados têm a mesma medida a, concluímos que o produto da base pela altura é igual a a².

Se os lados adjacentes de um retângulo medem a e b , então a área do retângulo é dada por:

(A_{mathrm{retângulo}}=acdot b)

Se os lados de um quadrado medem a, então a área do quadrado é dada por:

(A_{mathrm{quadrado}}=acdot a = a^2)

Exemplo 1:

Um campo retangular de futebol tem 120 metros de comprimento e 90 metros de largura. Qual a área desse campo?

(A_{mathrm{retângulo}}=120cmcdot90m=10.800m^2)

Exemplo 2:

Um quadro tem o formato de quadrado com 20 centímetros de lado. Qual a área desse objeto?

(A_{mathrm{quadrado}}=20cmcdot20cm=left(20cm ight)^2=400cm^2)

-> Área do trapézio

A área de um trapézio é a metade do produto entre a altura do trapézio e a soma das medidas das bases. Lembre-se de que as bases do trapézio são os lados paralelos e a altura é a distância entre as bases.

Se B é a base maior de um trapézio, b é a base menor e h é a altura, então a área do trapézio é dada por:

(A_{mathrm{trapézio}}=rac{(B+b)cdot h}{2})

Exemplo:

Qual a área de um trapézio com 4 cm de altura em que as bases medem 5 e 8 cm?

(A_{mathrm{trapézio}}=rac{(8cm+5cm)cdot 4cm}{2}=26cm^2)

-> Área do losango

Uma das maneiras de determinar a área de um losango é calculando a metade do produto entre as diagonais. Lembre-se de que as diagonais de um losango são os segmentos que unem os vértices opostos.

Se D é a diagonal maior de um losango e d é a diagonal menor, então a área do losango é dada por:

(A_{mathrm{losango}}=rac{Dcdot d}{2})

Exemplo:

Qual a área de um losango cujas diagonais medem 8 cm e 12 cm?

(A_{mathrm{losango}}=rac{12 cmcdot8 cm}{2}=96 mathrm{mathrm{c}}mathrm{m}^mathrm{2})

-> Área do hexágono regular 

Um hexágono pode ser dividido em triângulos por segmentos que unem o centro do polígono aos vértices. Dessa forma, sua área é igual à soma das áreas dos triângulos.

No caso específico do hexágono regular, temos que os seis triângulos formados por essa divisão são equiláteros. Assim, a área de um hexágono regular é igual à soma das áreas de seis triângulos equiláteros.

Note que a altura de cada triângulo é o apótema do hexágono. Se a é o lado de um hexágono regular e h é o apótema, então a área do hexágono é dada por:

(A_{mathrm{hexágono regular}}=6 cdotrac{acdot h}{2}=3cdot acdot h)

Observação: Como os seis triângulos são equiláteros, há uma expressão para a área que depende apenas do lado a do hexágono regular.

(A_{mathrm{hexágono regular}}=6 cdotrac{a^2cdot sqrt3}{4})

Exemplo:

Qual a área de um hexágono regular cujo lado mede 2 cm?

(A_{mathrm{hexágono regular}}=6 cdotrac{2^2cdot sqrt3}{4}=6sqrt3)

Como calcular a área de polígonos não convexos (côncavos)

Para calcular a área de polígonos não convexos (côncavos), devemos segmentar o polígono em figuras com áreas conhecidas.

Exemplo:

Determine a área do polígono abaixo.

Note que esse polígono pode ser dividido em três figuras conhecidas: um retângulo com 2 de base e 4 de altura, um retângulo com 1 de base e 2 de altura e um quadrado com 1 de lado.

Portanto, a área do polígono será a soma das áreas das três figuras.

(Área polígono=2⋅4+1⋅2+1^2=11)

Saiba mais: O que são polígonos regulares?

Exercícios sobre a área dos polígonos

Questão 1

A razão entre a área de um triângulo equilátero com 4 cm de lado e a área de um quadrado com 1 cm de lado é igual a

a) (2sqrt2).

b) (2sqrt3).

c) (3sqrt3).

d) (4sqrt2).

e) (4sqrt3).

Resolução: alternativa E

Aplicando as fórmulas apropriadas, temos que:

(A_{triângulo equilátero}rac{a^2sqrt3}{4}=rac{4^2sqrt3}{4}=4sqrt3cm^2)

(A_{mathrm{quadrado}}=a^2=1^2=1cm^2)

Portanto, a razão é:

(rac{4sqrt3cm^2}{1cm^2}=4sqrt3)

Questão 2

A altura de um trapézio com base maior, base menor e área respectivamente iguais a 15 cm, 10 cm e 75 cm² é, em centímetros, igual a:

a) 2 cm

b) 3 cm

c) 4 cm

d) 5 cm

e) 6 cm

Resolução: alternativa E

Aplicando a fórmula da área do trapézio, temos que:

(A_{trapézio}=rac{left(B+b ight)cdot h}{2})

(75=rac{left(15+10 ight)cdot h}{2})

(150=25cdot h)

(h=6 cm)