Função do primeiro grau

Uma função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B. Essa regra geralmente é uma expressão algébrica, parecida com uma equação. O conjunto A é chamado domínio e o conjunto B é o contradomínio da função.

Dados a e b pertencentes ao conjunto dos números reais, com a diferente de zero, uma função polinomial do primeiro grau é definida por:

f(x) = ax + b

Nessa função, x é chamado variável independente e f(x) ou y é chamado variável dependente.

Uma função do primeiro grau, portanto, relaciona elementos de dois conjuntos de forma linear. Observe, por exemplo, alguns dos pares (x, y) obtidos na função y = 2x:

x = 1, y = 2·1 = 2

x = 2, y = 2·2 = 4

x = 3, y = 2·3 = 6

Sendo assim, são elementos do domínio dessa função: 1, 2 e 3. E são elementos do contradomínio dessa função: 2, 4 e 6.

Gráfico da função

O gráfico é a representação de todos os pontos que pertencem a uma função do primeiro grau no plano. Como a função do primeiro grau é linear, seu gráfico sempre será uma reta.

Gráfico da função do primeiro grau

Para construí-la, deveremos nos lembrar de um dos postulados da Geometria: existe uma única reta que contém dois pontos distintos pertencentes ao plano.

Fazendo uso desse postulado, será necessário encontrar apenas a localização de dois pontos no plano para construir a reta que os contém. O método usado para isso depende da lei de formação da função do primeiro grau e será apresentado em passos:

1 – Escolha dois valores para x;

2 – Substitua esses valores na função;

3 – Encontre os valores de y correspondentes.

Feito isso, o valor escolhido para x, e seu y correspondente, forma um par ordenado que pode ser marcado no plano cartesiano.

Como escolhemos dois valores para x, teremos dois valores para y e, por isso, dois pares ordenados. Sabendo que cada par ordenado é a localização de um ponto no plano cartesiano, já temos os dois pontos. Portanto, basta marcá-los e desenhar a reta que passa por eles.

Existe um segundo método para construir o gráfico que revela informações importantes sobre ele e que pode aparecer em alguns exercícios. Para usá-lo, proceda da seguinte maneira:

1 – Escolha x = 0 e substitua esse valor na função para encontrar o valor de y relacionado. Sabendo que a função é y = ax + b, teremos o seguinte resultado:

y = ax + b

y = a·0 + b

y = b

Portanto, o primeiro ponto será (0, b). Esse é o ponto de encontro entre o gráfico da função e o eixo y e sempre será dado pelo coeficiente b da função do primeiro grau.

2 – Escolha y = 0 e substitua esse valor na função para encontrar o valor de x relacionado. Sabendo que a função do primeiro grau é y = ax + b, teremos:

y = ax + b

0 = ax + b

ax = – b

x = – b  
        a 

Portanto, o segundo ponto será (–b/a, 0). Essa é a raiz da função do primeiro grau, ou seja, o ponto de encontro entre seu gráfico e o eixo x.

Fazendo esses dois passos, obtemos as coordenadas de dois pontos pertencentes ao gráfico da função. Para construí-lo, basta desenhar a reta que passa por eles.

Raízes da função

A raiz, ou o zero de uma função do primeiro grau, é o ponto de encontro entre essa função e o eixo x. Para obter esse ponto, existem duas alternativas:

1 – Desenhar o gráfico da função e observar em que ponto ele toca o eixo x.

2 – Fazer y = 0 e descobrir o valor de x relacionado a ele.

Assim, a raiz da função y = 2x – 8 é:

y = 2x – 8

0 = 2x – 8

2x = 8

x = 8
      2

x = 4

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