Expressões algébricas

Quando escrevemos uma operação matemática básica a ser feita entre dois ou mais números, na realidade, estamos escrevendo uma expressão numérica. Essas expressões indicam quais operações devem ser feitas e também a ordem correta de sua realização. Qualquer furo na ordem ou erro de cálculos fará com que o resultado, exceto por coincidências, seja completamente diferente do esperado. Expressões algébricas seguem essa mesma lógica.

O que são expressões algébricas?

Elas respeitam as mesmas regras de ordenamento e utilizam as mesmas operações das expressões numéricas. A diferença está no fato de que as expressões algébricas envolvem também algumas letras, chamadas de incógnitas, que geralmente representam números desconhecidos. Como essa representação é responsabilidade da álgebra, as expressões que possuem incógnitas são chamadas de expressões algébricas.

Classificação das expressões algébricas

As expressões algébricas são divididas em dois grandes grupos: monômios e polinômios.

• Monômios

Monômios são expressões algébricas compostas apenas pela multiplicação entre números e incógnitas. O conjunto de incógnitas em um monômio é chamado de parte literal, enquanto o número que multiplica esse conjunto é chamado de coeficiente. Dessa maneira, são exemplos de monômios:

a) 2x⁴

Nesse monômio, 2 é coeficiente e x⁴ é a parte literal.

b) 4x⁸y⁹c¹⁰

Nesse monômio, 4 é o coeficiente e x⁸y⁹c¹⁰ é a parte literal.

c) x

Nesse monômio, 1 é o coeficiente e x é a parte literal.

d) 5

Nesse monômio, 5 é o coeficiente e x⁰ é a parte literal.

A multiplicação e a potenciação podem ser feitas em qualquer monômio, pois as letras que aparecem neles nada mais são do que números. Contudo, como não sabemos de que número se trata, apenas utilizamos letras para representá-los. A questão é que x², por exemplo, indica que estamos elevando um número ao quadrado, isto é, estamos multiplicando x por ele mesmo. Dessa maneira, caso venha a descobrir que número é x, você já sabe o que é preciso fazer com ele.

Seguindo esse mesmo raciocínio, as outras operações também podem ser realizadas nos monômios. As regras para cada uma delas são as seguintes:

→ Soma e subtração de monômios

As regras para soma e para subtração de monômios são as mesmas:

1 – Só é possível somar ou subtrair termos semelhantes;

Termos semelhantes são monômios que possuem a parte literal exatamente igual. É possível somar somente esses.

2 – Somar ou subtrair apenas o coeficiente e manter a parte literal;

Na soma e subtração de monômios, devemos manter a parte literal intacta. Apenas coeficientes são somados ou subtraídos.

3 – Seguir as mesmas regras das expressões numéricas.

As expressões numéricas possuem uma ordem para as operações. Devem ser realizadas primeiramente as potências, seguidas de multiplicações e divisões, seguidas de somas ou subtrações. Além disso, expressões entre parênteses têm prioridade sobre expressões entre colchetes, que, por sua vez, têm prioridade sobre expressões entre chaves.

Exemplo: Calcule a seguinte expressão algébrica 14x2y3 – 5x2y3

Solução: Siga as regras acima, subtraindo 14 – 5 e mantendo a parte literal x2y3 intacta:

14x2y3 – 5x2y3 = 9x2y3

→ Multiplicação e divisão de monômios

Para multiplicar ou dividir monômios, faça o seguinte:

1 – Escreva os monômios utilizando a notação de multiplicação (lado a lado, com um ponto no meio) ou de divisão (numerador sobre denominador);

2 – multiplicar, dividir ou simplificar os coeficientes;

3 – Reorganizar os fatores de modo que incógnitas iguais fiquem próximas;

4 – Efetuar a multiplicação tendo em mente o conceito de potências.

Exemplo: Calcule o produto entre os monômios 4x²y² e 2x⁴y³

Solução: Escreva a multiplicação entre eles e agrupe os fatores semelhantes

4x²y²·2x⁴y³

4·2·x²·x⁴·y²·y³

Pelas propriedades de potência, basta somar os expoentes dos fatores iguais quando for multiplicação e diminuí-los quando for divisão:

4·2·x²·x⁴·y²·y³

8·x⁶·y⁵

Exemplo 2: Calcule a divisão entre os monômios 4x²y² e 2x⁴y³

Solução: Escreva os monômios em forma de fração.

4x²y²
2x⁴y³

Divida os coeficientes e subtraia os expoentes de cada letra.

2·x^{2 – 4}·y^{2 – 3}

Observe que a incógnita x é operada apenas com a incógnita x, enquanto a incógnita y é dividida apenas pela incógnita y:

2·x^{– 2}·y^{– 1}

Outra maneira de realizar essa divisão é expandir as potências e cortar os termos que se repetem no numerador e no denominador:

4x²y²
2x⁴y³

    4xxyy   
2xxxxyyy

   2  
xxy

Esse resultado é equivalente a 2·x^{– 2}·y^{– 1}.

• Polinômios

Polinômios são expressões algébricas compostas pela adição ou subtração de monômios. Cada monômio dentro de um polinômio é chamado de termo.

Exemplos:

1) 14x² – 4x²y⁵

2) 4x³ – 4x²y⁵ + x² – y⁵

Também é possível realizar as operações soma, subtração, multiplicação e divisão de polinômios.

→ Soma e subtração de polinômios

Os termos de cada polinômio são reorganizados de modo que os termos semelhantes fiquem lado a lado. Então, entre esses, é feita a soma ou subtração de monômios.

Exemplo: Calcule a soma entre os polinômios 4x + 2y e 8x + 3y + z

Solução: Reorganize os termos para realizar as somas:

(4x + 2y) + (8x + 3y + z)

4x + 2y + 8x + 3y + z

(4x + 8x) + (3y + 2y) + z

12x + 5y + z

→ Multiplicação de polinômios

Para multiplicar polinômios, basta utilizar a propriedade distributiva (chuveirinho) e realizar as multiplicações resultantes entre monômios. Observe:

Exemplo: Calcule o produto entre os polinômios 4x – 3y e 7x + z

(4x – 3y)·(7x + z)

4x·7x + 4x·z – 3y·7x – 3y·z

28x + 4xz – 21yx – 3yz

→ Divisão de polinômios

Assim como os números reais, os polinômios também podem ser divididos. A técnica segue as premissas da divisão de números inteiros, que deixa algum resto. Para realizá-la, procure por um monômio que, multiplicado pelo termo de grau mais alto do divisor, tenha o termo de grau mais alto do dividendo como resultado. Multiplique esse monômio por todo o divisor e coloque o resultado abaixo do dividendo, subtraindo-o. Esse último passo fará com que todos os sinais desse resultado sejam trocados.

Realize as somas e subtrações termo a termo, lembrando-se de que elas são possíveis apenas com termos semelhantes. “Desça” o resto do dividendo e repita o processo até que ele possua grau menor que o divisor ou que o resto seja zero.

Exemplo

Na divisão de x³ + 5x² – 2x – 24 por x + 4, teremos:

x³ + 5x² – 2x – 24 | x + 4    
– (x³ + 4x²)               x² + x – 6  
0 + x² – 2x – 24              
– (x² + 4x)                  
0 – 6x – 24        
– (– 6x – 24)         
0      

Como resultado, teremos o polinômio x² + x – 6.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática