Estudo dos sinais de uma função do segundo grau

Uma função do segundo grau é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto a um único elemento de outro e que pode ser reduzida à forma: f(x) = ax² + bx + c. O estudo dos sinais de uma função do segundo grau é uma análise que determina os intervalos de números reais nos quais a função é positiva, negativa ou nula.

Ideia central do estudo dos sinais

Ao fazer o estudo dos sinais de uma função do segundo grau, estamos interessados em descobrir:

• quais são os números x pertencentes ao domínio dessa função que fazem com que a sua imagem y seja positiva;

• quais os valores de x fazem com que y seja negativo;

• e quais valores de x fazem com que y seja nulo.

Graficamente, estamos procurando os intervalos no eixo 0x onde a função está acima do eixo x, abaixo do eixo x e sobre o eixo x. Isso significa que estamos buscando os respectivos intervalos em que a função é positiva, negativa ou nula.

Observe o gráfico da função do segundo grau f(x) = x² – 4x + 3:

No gráfico acima, para todos os valores de x maiores do que 1 e, ao mesmo tempo, menores do que 3, a função está abaixo do eixo x. Logo, os valores de y são negativos. Observe também que a função está acima do eixo x para todos os valores de x maiores do que 3 e menores do que 1. Dessa forma, a função é positiva nesses dois intervalos. A função é nula nos pontos de encontro entre ela e o eixo x, portanto, nesse caso, exatamente sobre os pontos 1 e 3 do eixo x.

Essa análise pode ser usada sempre que o gráfico da função estiver disponível. Quando ele não estiver, pode-se usar o método algébrico, que descrevemos abaixo, ou construir o gráfico da função.

Método algébrico

É possível realizar o estudo dos sinais de uma função do segundo grau a partir de suas raízes. Assim, analisa-se, por elas, a concavidade da parábola que representa a função. Para isso, é necessário encontrar as raízes da função do segundo grau, por qualquer método, e determinar a concavidade da parábola que representa essa função. Isso pode ser feito observando o coeficiente a:

Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima.

Se a parábola está voltada para baixo.

Em uma dada função do segundo grau f(x) = ax² + bx + c, suponha que suas raízes sejam x₁ e x₂.

Se o coeficiente a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. Para essa função, o intervalo ]x₁, x₂[ faz com que a função seja negativa; os valores maiores que x₂ e menores que x₁ fazem com que a função seja positiva, se x₂ > x₁. Além disso, os próprios valores de x₁ e x₂ são os pontos onde a função é nula.

Se o coeficiente a parábola é voltada para baixo. Assim, o intervalo ]x₁, x₂[ faz com que a função seja positiva; os valores maiores que x₂ e menores que x₁ fazem com que a função seja negativa, se x₂ > x₁. Além disso, os próprios valores de x₁ e x₂ são os pontos onde a função é nula.

Exemplo:

Dada a função f(x) = x² – 4x, suas raízes são:

x² – 4x = 0

x(x – 4) = 0

x = 0 ou

x – 4 = 0

x = 4

Como a = 1 > 0, então, no intervalo entre 0 e 4, a função é negativa. Para qualquer valor maior que 4, ou menor que 0, a função é positiva; e sobre os pontos 0 e 4, essa função é nula.