Trigonometria

Trigonometria é a área de estudo da Geometria responsável por relacionar as medidas de ângulos e lados de triângulos. Inicialmente, essa relação é feita apenas para triângulos retângulos, fazendo uso das razões seno, cosseno e tangente. Essa relação também pode ser expandida para qualquer triângulo por meio da lei dos senos e da lei dos cossenos.

Por meio da Trigonometria, é possível descobrir medidas de lados de um triângulo se conhecemos medidas de seus ângulos e vice-versa, possibilidade que não existia antes de sua criação.

Razões trigonométricas

As razões trigonométricas são a base da Trigonometria. Elas são definidas fazendo uso da divisão entre as medidas de dois dos lados de um triângulo retângulo. Assim, independentemente do comprimento de cada lado, se dois triângulos distintos são semelhantes, os valores atribuídos a seno, cosseno e tangente de um mesmo ângulo, nesses dois triângulos, serão os mesmos.

Para compreender melhor as razões trigonométricas, é preciso conhecer os seguintes elementos de um triângulo retângulo:

Hipotenusa: Lado do triângulo oposto a seu ângulo reto. Também é o maior lado de um triângulo retângulo.

Catetos: Lados de um triângulo que não são a hipotenusa.

Cateto oposto: Sejam α e β os ângulos agudos de um triângulo retângulo, isto é, os ângulos que não são o ângulo reto. Fixando α, o cateto oposto a esse ângulo é chamado de cateto oposto a α.

Cateto adjacente: Na mesma situação da anterior, o cateto que não é oposto ao ângulo α é o cateto adjacente a α.

Em outras palavras, o cateto oposto a um ângulo é o cateto que não é um dos lados desse ângulo, enquanto o cateto adjacente é.

Assim, as razões trigonométricas são definidas como:

Senα = Cateto oposto
            Hipotenusa

Cosα = Cateto adjacente
          Hipotenusa

Tgα =    Cateto oposto  
          Cateto adjacente

Como dito anteriormente, para um mesmo ângulo α, o resultado da razão seno, por exemplo, não varia, mesmo que, em triângulos distintos, as medidas dos lados não sejam iguais. Isso acontece porque, se os triângulos possuem dois ângulos iguais (o reto e α), então esses triângulos são semelhantes e seus lados são proporcionais.

A tabela a seguir contém os valores mais importantes de seno, cosseno e tangente:

Lei dos senos e dos cossenos

As razões mencionadas anteriormente, no modo como são definidas, são válidas apenas para triângulos retângulos. Para expandir a Trigonometria para triângulos quaisquer, deveremos usar as leis dos senos e dos cossenos.

A lei dos senos garante que a razão entre o lado oposto a um ângulo α e o senα é proporcional à razão entre o lado oposto a um ângulo β e senβ, desde que α e β sejam ângulos de um mesmo triângulo.

A forma completa dessa lei é:

   a   =    b   =     c  
senα    senβ   senθ

Essa lei é válida para o triângulo a seguir:

A lei dos cossenos envolve mais cálculos. Devemos perceber que o primeiro valor que aparece nela é sempre a medida do lado oposto ao ângulo que terá o cosseno calculado. A fórmula é a seguinte:

a² = b² + c² – 2·b·c·cosα

Essa fórmula também é valida para o triângulo da imagem anterior. Note que, se for necessário usar essa lei para outro lado ou outro ângulo do triângulo, é possível reescrevê-la das seguintes maneiras:

b² = a² + c² – 2·a·c·cosβ

c² = a² + b² – 2·a·b·cosθ

O que estuda a Trigonometria?

O triângulo retângulo, as razões trigonométricas e as leis dos senos e dos cossenos são as bases da Trigonometria – estudo que relaciona as medidas de lados e as medidas de ângulos de um triângulo. Esse estudo pode ser expandido para um vasto universo, no qual encontraremos, entre muitos outros temas:

• Ciclo trigonométrico;
• Equações trigonométricas;
• Inequações trigonométricas;
• Funções trigonométricas;
• Fórmulas de adição de arcos;
• Fórmulas de arco duplo;
• Fórmulas de arco metade e
• Tabelas de razões trigonométricas.

Aproveite pra conferir nossas videoaulas sobre o assunto: