Radiciação

A radiciação é uma operação matemática, assim como a adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação. Da mesma maneira que a subtração é a operação inversa da adição e a divisão é a inversa da multiplicação, a radiciação é a operação inversa da potenciação. Assim, para x e y positivos reais e n inteiro (maior ou igual a 2), se x elevado a n é igual a y, podemos dizer que a raiz enésima de y é igual a x. Em notação matemática: .

Leia também: Potenciação e radiciação de frações — como fazer?

Resumo sobre radiciação

• A radiciação é uma operação matemática.

• Radiciação e potenciação são operações inversas, ou seja, para x e y positivos, .

• Calcular a raiz enésima de um número y significa encontrar o número x tal que x elevado a n é igual a y.

• A leitura de uma raiz depende do índice n. Se n = 2, chamamos de raiz quadrada, e se n = 3, chamamos de raiz cúbica.

• Nas operações com radicais, utilizamos termos com o mesmo índice.

• A radiciação possui importantes propriedades que facilitam seu cálculo.

Videoaula sobre radiciação

Representação de uma radiciação

Para representar uma radiciação, devemos considerar os três elementos envolvidos: radicando, índice e raiz. O símbolo  é chamado de radical.

Nesse exemplo, y é o radicando, n é o índice e x é a raiz. Lê-se “raiz enésima de y é x”. Enquanto x e y representam números reais positivos, n representa um número inteiro igual ou maior que 2. É importante ressaltar que para n = 2, o índice pode ser omitido. Assim, por exemplo, .

Podemos representar uma radiciação utilizando o radicando com um expoente fracionário. Formalmente, dizemos que a raiz enésima de  pode ser escrita como y elevado ao expoente fracionário .

Veja os exemplos:

Diferenças entre radiciação e potenciação

A potenciação e a radiação são operações matemáticas inversas. Isso significa que se , então . Parece difícil? Vejamos alguns exemplos.

• Se , então .

• Se , então .

• Se , então .

Como ler uma raiz?

Para ler uma raiz, devemos considerar o índice n. Se n = 2, chamamos de raiz quadrada. Se n = 3, chamamos de raiz cúbica. Para valores de n maiores, utilizamos a nomenclatura para números ordinais: raiz quarta (se n = 4), raiz quinta (se n = 5) e assim por diante. Veja alguns exemplos:

•  – raiz quadrada de 9.

•  – raiz cúbica de 8.

•  – raiz quarta de 625.

Como calcular a raiz de um número?

Veremos a seguir como calcular a raiz de um número real positivo. Para calcular a raiz de um número, devemos considerar a operação inversa relacionada. Ou seja, se procuramos a raiz enésima de um número y, devemos procurar um número x tal que .

Dependendo do valor de y (ou seja, do radicando), esse processo pode ser simples ou trabalhoso. Vejamos alguns exemplos de como calcular a raiz de um número.

• Exemplo 1:

Qual a raiz quadrada de 144?

Resolução:

Vamos chamar de x o número procurado, ou seja, . Perceba que isso significa buscar um número x tal que . Vamos testar algumas possibilidades com números naturais:

Portanto, .

• Exemplo 2:

Qual a raiz cúbica de 100?

Resolução:

Vamos chamar de x o número procurado, ou seja, . Isso significa que . Vamos testar algumas possibilidades:

Observe que procuramos um número que está entre 4 e 5, pois  e . Assim, vamos testar algumas possibilidades com números entre 4 e 5:

Como  é um número próximo e inferior a 100, podemos dizer que 4,6 é uma aproximação para a raiz cúbica de 100.  Portanto, .

Importante: Quando a raiz é um número racional, dizemos que a raiz é exata; caso contrário, a raiz é não exata. No exemplo acima, determinamos um intervalo entre raízes exatas onde a raiz procurada se encontra:

Essa estratégia é muito útil para calcular aproximações de um raiz.

Operações com radicais

Nas operações com radicais, utilizamos termos com o mesmo índice. Considerando isso, leia com atenção as informações a seguir.

→ Adição e subtração entre radicais

Para resolver uma adição ou uma subtração entre radicais, devemos calcular separadamente a raiz de cada radical.

• Exemplos:

Importante: Não é possível operar os radicais nas operações de adição e subtração. Observe que, por exemplo, a operação  resulta em um número diferente de , ainda que .

→ Multiplicação e divisão entre radicais

Para resolver uma multiplicação ou uma divisão entre radicais, podemos calcular separadamente a raiz de cada radical, mas também podemos utilizar as propriedades de radiciação, que veremos a seguir.

• Exemplos:

Quais as propriedades da radiciação?

→ Propriedade 1 da radiciação

Se y é um número positivo, então a raiz enésima de  é igual a y.

Veja o exemplo:

Essa propriedade é muito utilizada para simplificar expressões com radicais.

→ Propriedade 2 da radiciação

A raiz enésima do produto  é igual ao produto das raízes enésimas de y e z.

Veja o exemplo:

Importante: Quando calculamos a raiz de um número grande, é muito útil fatorar (decompor) o radicando em números primos e aplicar as propriedades 1 e 2. Veja o exemplo a seguir, no qual queremos calcular :

Assim,

→ Propriedade 3 da radiciação

A raiz enésima do quociente , com , é igual ao quociente das raízes enésimas de y e z.

Veja o exemplo:

→ Propriedade 4 da radiciação

A raiz enésima de y elevada a um expoente m é igual à raiz enésima de .

Veja o exemplo:

Veja também: Quais as propriedades da potenciação?

Exercícios resolvidos sobre radiciação

Questão 1

(FGV) Simplificando , obtém-se:

A) 0

B) - 23

C) - 43

D) - 63

D) - 83

Resolução:

Alternativa C.

Observe que utilizando as propriedades de radiciação, temos

Assim, podemos reescrever a expressão do enunciado como

Colocando o termo  em evidência, concluímos que

Questão 2

(Cefet) Por qual número devemos multiplicar o número 0,75 de modo que a raiz quadrada do produto obtido seja igual a 45?

A) 2700

B) 2800

C) 2900

D) 3000

Resolução:

Alternativa A.

O número procurado é x. Assim, de acordo com o enunciado,

Portanto,