Racionalização de denominadores
Aprenda de uma vez por todas a realizar a racionalização de denominadores!
A racionalização de radicais é o procedimento usado no caso de uma fração possuir radical no denominador. Esse procedimento encontra uma fração equivalente a essa com radical no numerador.
É importante conhecer esse procedimento porque as frações representam divisões. É muito mais fácil racionalizar uma fração que dividir um numerador qualquer por um denominador com raiz.
Por exemplo:
3
√3
Após feito o processo de racionalização, a fração equivalente a essa será:
3√3
3
Essa fração pode ser simplificada (clique aqui para aprender a simplificar frações), e o resultado final é √3.
Racionalização: Caso 1
Dada uma fração qualquer, é possível encontrar frações equivalentes a ela apenas multiplicando numerador e denominador pelo mesmo número. A única restrição para essa multiplicação é o 0, que não pode ser multiplicado pelo denominador de uma fração, pois denominadores obrigatoriamente têm que ser diferentes de zero. Sendo assim, podemos escolher, por exemplo, √3 para multiplicar o numerador e o denominador do exemplo acima.
3 ·√3
√3 √3
Assim, a fração obtida nessa multiplicação será equivalente à fração inicial. Observe agora os resultados da multiplicação:
3 ·√3 = 3√3 = 3√3
√3 √3 (√3)2 3
O resultado obtido é o mesmo do exemplo anterior.
O número que foi escolhido para multiplicar a fração inicial é chamado de fator racionalizante. Nos casos em que o denominador for apenas um radical ou um produto em que um dos fatores seja um radical, poderemos repetir esse procedimento para racionalizar denominadores.
Racionalização: Caso 2
Já o caso em que existir uma adição ou subtração no denominador, o fator racionalizante deverá ser o que chamamos de conjugado do denominador. Esse conjugado é formado pela adição entre a primeira parcela e o inverso aditivo da segunda – inverso aditivo é o mesmo número com sinal trocado.
Por exemplo:
1
√3 + √5
O fator racionalizante nesse exemplo é o conjugado de √3 + √5, que é: √3 – √5. Observe a racionalização:
1 (√3 – √5)
(√3 + √5)(√3 – √5)
Os resultados dessas multiplicações serão:
√3 – √5
√3√3 + √5√3 – √5√3 + √5√5
Observe que + √5√3 – √5√3 = 0. O que sobra no denominador é √3√3 + √5√5. Fazendo essas multiplicações, teremos:
√3 – √5
(√3)2 + (√5)2
O que resulta em:
√3 – √5
3 + 5
√3 – √5
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Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática
Aproveite para conferir nossa videoaula sobre o assunto: