Propriedade distributiva da multiplicação (chuveirinho)

A propriedade distributiva da multiplicação está relacionada com um produto em que pelo menos um dos fatores é uma soma. Essa propriedade é muito utilizada em multiplicações “de cabeça”, pois é possível decompor um dos fatores para realizar essa operação de maneira mais fácil. Desse modo, essa propriedade pode ser aplicada sempre que aparecerem expressões parecidas com a seguinte:

a·(b + c)

a, b e c são números reais quaisquer.

A propriedade distributiva da multiplicação também é chamada de “chuveirinho” no Ensino Fundamental e Médio. A seguir veremos a maneira prática de aplicar essa propriedade.

→ Quando apenas um dos fatores é uma adição

Quando apenas um dos fatores é uma adição, multiplique o outro fator por cada um de seus termos e some os resultados. Em outras palavras:

a·(b + c) = a·b + a·c

Exemplos:

• Na multiplicação 10·(2 + 4), teremos:

10·(2 + 4) = 10·2 + 10·4 = 20 + 40 = 60

• Na multiplicação 10·25, teremos:

10·25 = 10·(20 + 5) = 200 + 50 = 250

• Na multiplicação 10·(a + 3), teremos:

10·(a + b) = 10·a + 10·b = 10a +10b

→ Quando os dois fatores são adições

Quando dois fatores são adições, é possível aplicar essa propriedade de maneira direta ou separá-la em dois casos e depois somar os resultados. Essas alternativas podem ser escritas, matematicamente, da seguinte maneira:

Forma direta: Cada termo do primeiro fator deve ser multiplicado por todos os termos do segundo fator. Todos os resultados devem ser somados ao final. Observe:

(a + b)·(c + d) = a·c + a·d + b·c + b·d

Forma separada: Escrevemos o produto das duas adições como a soma de dois produtos. Depois resolvemos cada parcela dessa soma do modo já discutido, para quando apenas um dos termos é uma adição. Observe:

(a + b)·(c + d) = a·(c + d) + b·(c + d)

(a + b)·(c + d) = a·c + a·d + b·c + b·d

Exemplos:

1. Na multiplicação (2 + 4)·(3+6), teremos:

(2 + 4)·(3+6) = 2·3 + 2·6 + 4·3 + 4·6 = 6 + 12 + 12 + 24 = 54

2. Na multiplicação (2 + 4)·(7 – 2), teremos:

(2 + 4)·(7 – 2) = 2·7 – 2·2 + 4·7 – 4·2 = 14 – 4 + 28 – 8 = 30

→ Adições de três ou mais parcelas

Quando houver três ou mais parcelas em algum dos fatores, proceda da mesma maneira indicada anteriormente. Observe:

(a + b)·(c + d + e) = a·c + a·d + a·e + b·c + b·d + b·e

Exemplo:

Na multiplicação (2 + 3)·(4 + b + 7), teremos:

(2 + 3)·(4 + b + 7) = 2·4 + 2·b + 2·7 + 3·4 + 3·b + 3·7 =

=8 + 2b + 14 + 12 + 3b + 21 = 55 + 5b

→ Multiplicações com três ou mais fatores

Quando houver três ou mais fatores, multiplique-os dois a dois, ou seja, aplique a propriedade distributiva nos dois primeiros e utilize o resultado dessa multiplicação como fator para aplicar a mesma propriedade novamente. Observe:

(a + b)·(c + d)·(e + f) =

(a·c + a·d + b·c + b·d)·(e + f) =

a·c·e + a·d·e + b·c·e + b·d·e + a·c·f + a·d·f + b·c·f + b·d·f

Exemplo:

Na multiplicação (2 + 3)·(4 + 5)·(1 + 2), teremos:

(2 + 3)·(4 + 5)·(1 + 2) =

(2·4 + 2·5 + 3·4 + 3·5)·(1 + 2) =

2·4·1 + 2·5·1 + 3·4·1 + 3·5·1 + 2·4·2 + 2·5·2 + 3·4·2 + 3·5·2 =

8 + 10 + 12 + 15 + 16 + 20 + 24 + 30 = 135

É evidente que também é possível realizar as somas primeiro para depois fazer a multiplicação em virtude da posição dos parênteses. Contudo, quando as expressões envolverem incógnitas (números desconhecidos representados por letras), é obrigatório realizar a multiplicação primeiro seguindo essa propriedade.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática