Fração Geratriz

Na matemática, temos alguns conjuntos numéricos, como os Naturais, os Inteiros e os Racionais. Os números naturais são formados pelos números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... Os números inteiros são compostos pelos números naturais e sua versão negativa, isto é, …, -2, -1, 0, 1, 2, 3... Já os números racionais são todos aqueles números originados de uma divisão, lembrando que toda divisão pode ser expressa por meio de uma fração, por exemplo, 1 ÷ 2 = ½. Podemos então separar os números racionais em três classificações:

• Divisão exata – 8 ÷ 2 = 4

                          10 ÷ 5 = 2

                            9 ÷ 3 = 3

• Decimais finitos – 1 ÷ 2 = 0,5

                                       5 ÷ 4 = 1,25

                                       9 ÷ 5 = 1,8

• Dízima periódica – 3 ÷ 9 = 0,33333...

                               21 ÷ 99 = 0,21212121...

                             100 ÷ 999 = 0,100100100...

Todos os números decimais que possuem infinitas casas decimais, com uma sequência numérica que se repete, são chamados de dízima periódica. Sendo que o número que se repete é chamado de período. Nos exemplos citados anteriormente, 0,33333..., 0,21212121... e 0,100100100..., os períodos são, respectivamente, 3, 21 e 11.

Mas dada a dízima periódica, você sabe como encontrar a fração que lhe deu origem? Temos um dispositivo prático que rapidamente indica a fração cuja divisão gerou a dizima periódica, também conhecida como fração geratriz. Vejamos alguns casos:

0,444444....

Nesse caso, temos uma dízima periódica de período 4 e com a parte inteira nula, isto é, antes da vírgula há apenas 0. Como o nosso período tem apenas um algarismo, vamos dividi-lo por 9. A nossa fração geratriz terá a seguinte aparência:

0,444444... = período = 4
                         9          9

Já no caso de 0,32323232..., o período possui dois algarismos, portanto, para encontrar sua fração, dividiremos o período por 99:

0,323232....= período = 32
                        99         99

E assim sucessivamente.

Veja outro exemplo: 0, 100100100100...

Nesse caso, o período é 100, número formado por três algarismos, então ele deverá ser dividido por 999.

0,10010010 = período = 100
                         999       999

Outro caso ocorre quando temos uma dízima periódica igual 0,254444... Nessa dízima periódica, há um período 4 e uma parte não periódica depois da vírgula, o 25. Se considerarmos a parte não periódica, seguida do período, teremos: 254. Desse valor, subtrairemos a parte não periódica: 254 – 25 = 229. Para dividirmos o 229, precisamos analisar nossa dízima: para cada algarismo do período, colocamos o 9, e para cada algarismo da parte não periódica, preenchemos com 0. Ficando o seguinte:

0,254444... = 254 –25 = 229
                       900       900

Vejamos outros exemplos:

0,31252525... = 3125 – 31 = 3094
                           9900        9900

0,411222... = 4112 – 411 = 3701
                         9000        9000

0,0291291291... = 0291 – 0 = 291
                               9990     9990

Por último, temos o caso em que o número que aparece antes da virgula não é zero, isto é, quando há uma parte inteira na dízima periódica. Nesse caso, devemos separar a parte inteira da parte decimal. Por exemplo, no caso de 1,4444...., devemos escrevê-lo como 1 + 0,4444... Nós transformamos a parte decimal em fração, utilizando o método adequado, assim como fizemos no primeiro exemplo. Veja:

0,444444... = período = 4
                          9         9

Basta somar essa fração com a parte inteira:

Portanto, ¹³/₉ é a fração geratriz de 1,4444...

Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática

Aproveite para conferir nossa videoaula sobre o assunto: