Divisão de polinômios

Dados dois polinômios, representados por A(x) e B(x), é possível realizar a divisão de A(x) por B(x) sempre que o grau do polinômio A(x) for maior que o de B(x). Essa divisão acontece de modo similar à de números inteiros.

→ Método usado para dividir polinômios

Para dividir polinômios utilize o método da chave e siga o mesmo passo a passo da divisão de números inteiros. Como o método usado é o mesmo, a denominação dos polinômios também será igual. Observe:

• D(x) é o dividendo;

• d(x) é o divisor;

• Q(x) é o quociente;

• R(x) é o resto.

O procedimento para dividir polinômios é praticamente idêntico à divisão de números inteiros, variando apenas nos detalhes.

Dessa maneira, é necessário procurar um polinômio que, multiplicado pelo divisor, tenha o dividendo ou uma boa aproximação dele como resultado. A diferença entre esse produto e o dividendo é o resto.

→ Passo a passo para dividir polinômios

Para dividir polinômios, observe o passo a passo a seguir:

1) Escreva os polinômios na forma do método da chave, reorganizando seus termos na ordem decrescente do grau de seus monômios (se necessário);

2) Procure por um monômio q(x) que, multiplicado pelo primeiro monômio do divisor, tenha exatamente o primeiro monômio do dividendo como resultado;

3) Multiplique q(x) pelo divisor e coloque o resultado abaixo do dividendo trocando todos os sinais de seus termos;

4) “Desça” os termos restantes do divisor;

5) Repita o procedimento para o novo dividendo até que o grau do dividendo seja menor que o grau do divisor. Quando isso acontecer, não será mais possível dividir os polinômios.

Exemplos

1º) Divida D(x) = – 8x + x² + 16 por d(x) = x – 4

Solução:

Passo 1:

Reorganizando os polinômios na ordem decrescente do grau de seus monômios teremos:

Passo 2:

Pois x·x = x². Observe que o monômio q(x) = x.

Passo 3:

          

Observe que a multiplicação de x por x – 4 é x² – 4x, entretando, trocamos os sinais dos termos desse polinômio para colocá-lo abaixo do dividendo porque estamos realizando uma subtração.

Passo 4:

Passo 5: apenas repetiremos todos os procedimentos anteriores até que o grau do resto seja inferior ao grau do divisor. Observe:

O resultado Q(x) da divisão de D(x) por d(x) é Q(x) = x – 4

2º) Divida D(x) = 6x⁴ – 10x³ + 9x² + 10x – 4 por d(x) = 2x² – 4x + 5

Solução:

Passo 1:

Passo 2:

Passo 3:

                         

Passo 4:

                

Passo 5:

 

O resultado é Q(x) = 3x² + x – 1 e o resto é R(x) = x + 5.

Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

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